Sổ tay Thích Học Toán

Nhặt lại từ blog cũ và sửa lại mấy chữ.

Vốn rất có cảm tình với phim Yi Yi của Edward Yang, được chiếu ở Pháp cách đây 10 năm, tôi muốn xem lại nó ở bên Mỹ. Phát hiện ra không mấy ai biết Edward Yang và Yi Yi ở đây.

Edward Yang đã quay được những tình huống của cuộc sống bắt người xem suy nghĩ về bản thân mình, về cuộc đời mình, điểm xuyết một số chi tiết sến đặc thù của điện ảnh châu Á mà đôi khi lại làm bộ phim đáng yêu hơn.

Phim bắt đầu từ thời điểm khi bà mẹ vợ của nhân vật chính, NJ, trượt chân trong lúc đi đổ rác. Bà rơi vào trạng thái coma. Bác sĩ cho người nhà biết, muốn lôi bà ra khỏi trạng thái này, cách tốt nhất là người nhà phải thường xuyên trò chuyện với bà. NJ, vợ của NJ, và anh chị em vợ hàng ngày bắt đầu nói chuyện với bà mẹ, người mà họ rất yêu quí. Nhưng rất nhanh chóng, họ nhận ra một sự thật làm đảo lộn những gì sâu thẳm nhất trong tâm hồn họ : họ không có chuyện gì để nói với mẹ cả.

Ngay giữa những người thân yêu nhất, cũng không có chuyện gì để nói với nhau. Không có chuyện gì thực sự là chuyện để có thể nói với bà mẹ đang trong tình trạng coma. Đọc tiếp »

A poem by Vi Le (14 years old)

*****

I am from books, from Hyperion Books and mysteries
I am from the one bedroom apartment
(the apartment as small as a doll house and
as cozy as you are sitting next to the fireplace)
I am from the orchids
That flutters and flies when the wind blows

I am from the hard workers and overachievers
From the Le’s and Tran’s
I am from the debates and neatness
From stories to morals
The lesson learned from when I was small

Đọc tiếp »

Anh Hoàng Hồng Minh viết về thầy Thân. Bài đăng trên bee.net.vn.

*****

Điều vinh quang như hòn đảo nổi lên giữa đại dương cuộc đời. Và đôi khi chính hòn đảo đó làm người ta quên luôn đi cả cái hòn núi nền tảng đội hòn đảo này tít từ tận dưới đáy đại dương.
Có rất nhiều góc độ để chiêm ngưỡng hòn núi nền tảng này. Ở đây là sự chiêm ngưỡng của một người học trò cũ, người không liên quan gì đến… toán học !

Đẹp trai là lượt

Mấy chục năm trước đây nếu đã có các cuộc thi sắc đẹp “Mister ngành giáo dục”, rất nhiều khả năng thày phải đoạt giải này.

Có người sẽ bảo “đẹp trai, thì là chuyện trời cho, có gì phải biểu dương?”.

Thế này.

Có những người “ăn ảnh”, nhưng không “ăn phim”.

Bởi vì “ăn phim” đòi hỏi vẻ đẹp sống động, trong hành động, hiển lộ tinh thần, chứ không chỉ “đẹp khoảnh khắc” như “ăn ảnh”.

Thày đẹp “ăn phim”, đó là một nhẽ.

Thày lại ăn mặc bao giờ cũng chỉn chu, cao ráo, nhã nhặn, kể cả vào những thời đói kém nhất. Nên tôi phải dùng đến khái niệm “đẹp trai là lượt” là thế. Sau này càng quan sát các nhà toán học, tôi càng thất vọng tràn trề về khả năng ăn mặc của họ nhá. Ngay cả nhà học trò vĩ đại nhất của thày, nhà toán học Ngô Bảo Châu, xem ra cũng vẫn chưa khéo ăn mặc chỉn chu bằng thày. May quá, tôi không phải là nhà toán học! Đọc tiếp »

Alex và Anna về ký túc xá trên chuyến tàu ngoại ô cuối cùng. Giờ này tàu vắng, hành khách ai cũng có vẻ mệt mỏi và buồn ngủ. Hai đầu gối của Alex đau nhừ. Đôi giầy đen rẻ tiền gót đã mòn đi gần một nửa. Tối nay Anna rủ Alex đến buổi dạ hội ở khu Ký túc xá quốc tế do nhóm sinh viên người Ghana, đồng hương của Anna, tổ chức.

- Alex, tối nay cậu nhảy đẹp lắm.

- Thật hả ? Mình có biết nhảy đâu. Hồi còn ở Hà Nội, mình có đi học lớp dạy nhảy do Thành đoàn tổ chức. Nhưng người ta chỉ dạy mỗi điệu cha cha cha. Tối nay, các cậu lại không chơi cha cha cha nên mình chỉ nhún theo cậu thôi.

- Mình nghĩ là cậu có cảm thụ tốt về nhịp điệu.

- Cảm ơn cậu.

Alex nhớ lại cái cảm giác vừa dễ chịu, vừa khó chịu khi nhảy với cô gái châu Phi cao hơn mình gần một cái đầu. Rồi chợt giật mình khi có ai đụng tay vào tóc mình.

- Tóc cậu đẹp và mềm quá.

- Cậu là người đầu tiên khen tóc mình mềm đấy. Ở quê, tóc mình thường được so sánh với rễ tre.

- Tóc cậu dài quá, để sáng mai mình cắt cho. Tớ ước sau này con tớ có tóc giống như tóc cậu.

- Cậu đã cắt tóc cho ai bao giờ chưa ? Đọc tiếp »

Đây là một định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây, bạn sẽ học hai chứng minh khác nhau cuả nó. Có lẽ cái thú vị nhất không phải là việc củng cố niềm tin vào Cayley và Hamilton mà là hai chứng minh này sẽ dẫn dắt bạn đi đến suy tưởng về những chuyện nằm ngoài phạm vi tuyến tính.

Phát biểu định lý Cayley-Hamilton : Đa thức đặc trưng của ma trận vuông bậc là định thức của ma trận . Đây là một đa thức biến có bậc bằng

với , , … Ký hiệu đã được chọn một cách gọn nhẹ, nhưng cũng có thể gây hiểu lầm. Ở đây, là một đa thức có biến với hệ số phụ thuộc vào  .

Với định nghĩa như trên, ta có với là ma trận có được khi ta thế vào biến .

Thực ra, khẳng định trên đủ phổ dụng để ta không cần phải qui định trước xem là ma trận có hệ số như thế nào. Tuy nhiên để dễ hình dung bạn sẽ gỉả sử rằng là ma trận với hệ số trong một trường , chẳng hạn như trường các số phức, mặc dù định lý đúng nếu là một ma trận với hệ số trong một vành giao hoán bất kỳ.

Chứng minh thứ nhất : Cho là một không gian vec tơ chiều trên trường với là cơ sở. Cho là mo đun tự do hạng trên vành đa thức cũng với cơ sở là .  Bạn có như không gian vec tơ con trên chứ không phải như -mo đun vì bản thân chưa được trang bị cấu trúc -mo đun. Đọc tiếp »

Chép lại từ blog cũ.

Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai nằm ở cái biệt thức . Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.

Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính từ một -không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng thỏa mãn tính chất và khi và chỉ khi khả nghịch.

Kết thức (resultant) cuả hai đa thức là một số . Giả sử và là các nghiệm có thể có lặp của và trong một đóng đại số của , ở đây là bậc của . Khi đó bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của . Như vậy khi và chỉ khi nguyên tố cùng nhau. Đọc tiếp »

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho là hai không gian vec-tơ trên một trường . Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một -không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp . Ta ký hiệu nó là . Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng  với các vô hướng . Sau đó, ta xét không gian con của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng , và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí và . Ta đặt là không gian vec-tơ thương của chia cho không gian con .

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ trong là . Các vec-tơ lập thành một hệ sinh của nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của trong bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính   và và các quan hệ tương tự khi và trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng với các vec-tơ làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Đọc tiếp »

Dịch thơ của Jacques Prévert

*****

Một tối thu,
hai con sên
đi đưa ma
một chiếc lá

Cái vỏ ốc
nhuộm cho đen
còn ăng ten
cuộn khăn trắng

Nhưng tiếc rằng
khi tới nơi
thì mùa xuân
tới trước rồi
Đọc tiếp »

Truyện của anh Hoàng Hồng Minh, đã đăng trên bee.net.vn. Ảnh Cụ Hinh lúc còn bé.

Cụ Hinh(*) nghĩ, nếu muốn đời sống ngày mai khấm khá, nền nếp, phải cậy đến thế hệ trẻ thôi. Và mỗi người lớn cố tìm cách vun một chút vào cho bọn chúng.

Nên mới hay hỏi chuyện cậu bé nhà anh bạn dạo này ra sao.

Anh bạn này của Cụ Hinh từng đi tu nghiệp ở tận bên nước Mỹ, thế là giỏi, lại đẻ được cả con ở xứ đó, thế mới tài. Được ít lâu sau mấy bố mẹ con lục tục về quê lập nghiệp.

Cậu bé thật lạ nước lạ cái khi ra đường… Và nhất là khi đến trường ở quê nhà.

Nhiều lần ở trường về cậu nước mắt ngắn nước mắt dài, sà vào lòng mẹ thậm thụt “mẹ ơi, con không thích làm người Việt”. Bố mẹ sợ quá, đóng kín hết các cửa lại, gắng khuyên cố nhủ “ấy chết, con phải cố gắng chứ, rồi thì sẽ quen hết”.

Ngày tháng thoi đưa, mọi chuyện cũng ổn dần.

Năm nọ, bố mẹ chiêu đãi cậu đi một chuyến chơi Dysney Land ở xứ ngoài.

Nay thì cậu bé đã là học sinh giỏi văn trong lớp.

—-

Hôm trước cậu chạy về nhà khoe bố mẹ bài văn của mình mới được trả, được điểm rất cao. Đọc tiếp »

Đọc lại bài Quay quanh mặt trời viết từ một năm trước, so với mấy truyện buồn buồn sến sến viết gần đây, phát hiện ra rằng các nơ ron trào lộng trong sọ mình có vẻ bị tắt hết từ lúc nào. Khi ta không còn thấy thích đùa, là lúc ta bắt đầu già. Nghĩ mà thấy ghen tị với bạn Cụ Hinh và bạn 5xu. Hai bạn này trông bên ngoài thì nhăn nheo hơn mình, nhưng trong lòng vẫn là cả một khối thanh xuân phơi phới. Không biết các bạn ấy ăn gì mà tốt cây thế, hehe.

Nói nhảm chỉ để thông báo rằng những bài sắp xuất hiện trong mục Toán sẽ khô như ngói, và chỉ phục vụ các bạn đang làm toán hoặc đang học toán. Các bạn không thuộc hai phạm trù này thì dừng đọc ở đây nhé.

****

Nếu là hai nhóm con của một nhóm , thì có một tương ứng 1-1 giữa tập các lớp kề đúp và tập các quĩ đạo của nhóm tác động đồng thời lên . Đây là một mệnh đề tổng quát và khá tầm thường mà bạn có thể tìm thấy trong bất kỳ quyển sách nào về lý thuyết nhóm đại cương. Theo một nghĩa nào đó, vế trái có ưu điểm tiết kiệm ngôn ngữ vì nhóm chỉ dùng một lần ; tuy thế nó hơi thiếu tính trực quan vì thật ra rất khó hình dung cụ thể một lớp kề đúp là cái gì. Vế phải thì ngược lại. Phần tử của các không gian thuần nhất và thường tương ứng với những đối tượng mang ý nghĩa hình học. Quĩ đạo theo tác động đồng thời của lên tương ứng với vị trí tương đối giữa hai đối tượng đó. Đọc tiếp »