Sổ tay Thích Học Toán

Bài của anh HOÀNG Hồng-Minh đã đăng trên Tia sáng

*****

Nền suy tư cổ truyền có đặc điểm cố hữu là tật cô lập « chăn trâu thổi sáo », cái được đặt lên trên, và lên trước năng lực hợp tác kiến tạo xã hội. Đời sống cổ truyền thực chất quá giản đơn, sự “hợp tác” về căn bản chỉ được hiểu là sự « góp sức », “tụ bầy”, “kết đoàn”, tỉ như cùng xúm nhau lại để bê được hòn đá nặng lên, chứ chưa phải là năng lực suy tính, thiết kế, tạo dựng những mô hình hoạt động xã hội tổng thể với các chức năng phối hợp, trong không gian và thời gian, có hiệu năng dài lâu. Ngay cả khi « toàn dân ra đồng bắt sâu diệt cỏ cho lúa » thì dù qui mô kết đoàn này thật là vĩ đại, điều đó vẫn hoàn toàn khác xa về bản chất với những loại công việc như tổ chức công cuộc hợp tác để thiết kế, xây dựng và vận hành Trung tâm sản xuất siêu máy bay Airbus A380, hay Trạm vũ trụ quốc tế trên không gian.

Trong một đời sống giản đơn, nói chuyện tâm-tài, thì cơ bản chỉ cần « tâm » là đủ, gần như không cần « tài ». Trong cái công việc cùng bê hòn đá nặng, ai cũng có vai trò giống như ai, hơn kém nhau chỉ là bê thật lòng hay bê vờ vĩnh. Cái xã hội cổ truyền giản đơn ấy cho phép và xui khiến người ta suy tư về tâm-tài theo một cái thể thức thường cô độc hóa được hai cái đó. Đọc tiếp »

Chép lại từ blog cũ

*****

Người Ấn Độ day dứt từ ngàn năm với cái vòng luân hồi, làm cả thế giới day dứt theo. Không biết thì thôi, chứ biêt nay mai mình hóa ra con bọ biết bay thì thấy cũng lo lo. Nỗi lo luân hồi của các nhà tô pô cũng canh cánh không kém. Các ông ấy băn khoăn không biết thế giới này phải đồng luân mấy vòng thì mới thoát

Có ai đi hết mặt cầu
Đồng luân mấy nẻo về đâu thoát đời.

Bài toán làm các nhà tô pô đau đầu từ mấy chục năm nay là tính đồng luân mặt cầu. Cuộc đau đầu tập thể này vẫn đang tiếp diễn.

****

Bạn nối từ điểm đến điểm trên mặt giấy bằng một nét bút, thẳng cong tùy ý, gãy khúc cũng được, miễn là đầu bút không được rời khỏi mặt giấy. Trong ngôn ngữ toán học, một cung là một ánh xạ liên tục với từ đoạn thẳng đơn vị vào không gian tô pô mặt giấy có điểm đầu là và điểm cuối là . Tô pô là khái niệm toán học diễn đạt một cách chính xác khái niệm ánh xạ liên tục.

Không gian là liên thông nếu với mọi điểm , ta có thể băc một cung tình yêu từ điểm đến điểm . Thực ra, trong tô pô, người ta gọi thuộc tính này là liên thông theo cung, để dành chữ liên thông cho một thuộc tính hao hao.   Nói chung, trong tất cả các không gian ta thường gặp, liên thông và liên thông theo cung là tương đương nhau, và ta không dại gì mà không tự hạn chế vào trường hợp đó. Đọc tiếp »

Bạn đã nóng ruột muốn biết khi nào thì chuỗi Fourier hội tụ. Bây giờ là lúc tôi có thể phát biểu một chỉ tiêu đơn giản cho sự hội tụ : chỉ tiêu này là một điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Cho là một hàm tuần hoàn liên tục có đạo hàm tại một điểm . Khi đó chuỗi Fourier sẽ hội tụ tại điểm .

Bạn có thể giả thiết và . Bạn cũng có thể coi như một hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và có đạo hàm tại điểm . Cái bạn cần chứng minh là tích phân

tiến về khi tiến ra .

Cái khó chịu trong tích phân trên là mẫu số . Đọc tiếp »

Bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại đi chứng minh hội tụ theo kiểu Cesaro trong khi cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Tôi nói với bạn rằng con đường của khoa học là như thế. Khi chưa đi đến điểm bạn muốn đến, cái bạn phải làm là thiết lập những điểm tựa vững chắc để khi leo lên đó bạn có thể nhìn ra bốn phương tám hướng. Khổ nhất là sau cuộc tranh luận vã mồ hôi, bạn quay lại đúng điểm nơi bạn đã xuất phát.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng của chuỗi Fourier xấp xỉ , nhưng bạn đã chứng minh được rằng dãy các tổng Cesaro hội tụ đều đến . Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier của hàm tuần hoàn liên tục hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue). Đọc tiếp »

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân bao gồm các hàm liên tục trên được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

1. với mọi , ,
2. tồn tại sao cho với mọi ta có ,
3. với mọi , ta có khi .

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy hội tụ về . Cho một họ xấp xỉ đơn vị và là một hàm khả tích trên . Khi đó

mỗi khi hàm liên tục tại . Hơn nữa, nếu liên tục khắp nơi thì  hội tụ đều về .

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy . Vì thế tính liên tục của không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier. Đọc tiếp »

Trong bài thứ hai, ta đặt câu hỏi hơi siêu hình về “ý nghĩa” của chuỗi Fourier. Câu trả lời là khai triển hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phân tích phổ.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact . Với mỗi , xê dịch một khoảng cho bạn một toán tử trên không gian các hàm trên

Các toán tử lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm chính là các vec tơ riêng

Khai triển thành chuỗi Fourier

có thể xem như cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử . Mỗi hàm khả tích trên tác động lên bằng công thức “tích chập”

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử với trọng cho bởi . Theo một nghĩa nào đó, nếu thay bằng phân bố Dirac thì ta tìm lại được toán tử . Các hàm tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập. Đọc tiếp »

Giống như mọi người, tôi vẫn nhớ mãi cái thuở mình còn rất trẻ. Khác nào như buổi sớm mùa xuân cựa mình ở vùng trung du, sương móc giăng yên ả trên những ngọn cỏ, và hơi nồng của đất quyện vương với mùi khói rơm tỏa từ bếp lửa sớm của nhà nào trong xóm.

Và rồi tôi bắt đầu tham dự buổi hội thảo đầu tiên của giới học thuật ! Chao, mình người lớn rồi nha, bàn toàn những vấn đề cực to.

Buổi sáng khai mạc hôm ấy có ba chuyến tham luận dài như những đoàn tàu hỏa sang sảng trôi qua. Giờ giải lao đến, anh Ba, người đàn anh mới của tôi, mời tôi ra quán nước trà kẹo lạc bên kia đường để « tĩnh tâm ».

-« Sao, nhà học giả trẻ Cụ Hinh, bạn thấy các tham luận ra sao ? »

-« Dạ, khó nói quá ạ… Chặt chẽ, kín bưng, hùng dũng… »

-« Cậu được đấy, thật thà… Nhưng mà, dát. Đọc tiếp »