Toán « Sổ tay Thích Học Toán

Archive for the ‘Toán’ Category

Trang mạng của VIASM

Đây là địa chỉ của trang mạng mới của Viện nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM)

http://viasm.edu.vn/

Written by thichhoctoan

18/05/2012 lúc 23:03

Posted in Toán

Trong tháng bảy và tháng tám, tôi sẽ tổ chức một lớp học về lý thuyết số ở VIASM. Các học viên sẽ tự đọc tài liệu, tự trình bày rồi cả lớp sẽ cùng thảo luận. Lớp học sẽ bắt đầu từ những bài toán với phát biểu tương đối sơ cấp trong số học và tìm hiểu phương pháp giải tích để giải quyết những bài toán đó. Tài liệu tham khảo là cuốn sách Introduction to analytic number theory của Chandrasekharan. Đối tượng của lớp học là sinh viên khoa toán những năm cuối.

Cũng về số học, ở VIASM sẽ có sinh hoạt chuyên đề về công trình gần đây của Bhargava về hạng trung bình của đường cong elliptic. Tuy phương pháp của Bhargava tương đối sơ cấp, seminar chắc chắn sẽ khó theo hơn lớp học.

Bạn cần đăng ký bằng cách gửi email về địa chỉ hoche.viasm at gmail.com. Các bạn ở tỉnh xa có thể đề nghị VIASM hỗ trợ kinh phí đi lại ăn ở. Trong thư, ngoài tên tuổi, địa chỉ, trường học, bạn sẽ trả lời ba câu hỏi :

1) Học hè : Y/N. 2) Seminar : Y/N. 3) Hỗ trợ : Y/N

gửi kèm bảng điểm và thư giới thiệu của giáo viên. Vì kinh phí chung cũng như sức chứa của phòng học đều hạn chế, không phải tất cả những người đăng ký đều sẽ được nhận đến học (hoặc được hỗ trợ kinh phí).

Hạn cuối cùng để đăng ký là 15/5. Tôi sẽ lên danh sách lớp trước ngày 20/5.

Sau khi lên danh sách lớp, tôi sẽ gửi tài liệu và phân bài cho các bạn cùng đọc.

(Thông báo này tạm đăng ở đây trong khi chờ trang mạng mới của VIASM đi vào hoạt động)

Written by thichhoctoan

28/04/2012 lúc 01:05

Posted in Toán

Phân bố đều

with 26 comments

Một bài toán kinh điển trong luyện thi học sinh giỏi là bài này. Chứng minh rằng nếu ${\alpha}$ là số vô tỷ, dãy các số ${n\alpha -[n\alpha]}$ , phần thập phân của ${n\alpha}$ với ${n\in \mathbb N}$ biên thiên, trù mật trong đoạn ${[0,1]}$ . Lời giải dựa trên nguyên lý Dirichlet, còn được gọi là nguyên lý chuồng thỏ hoặc chuồng bồ câu tùy vào khu vực địa lý nơi bạn sinh sống.

Dùng chuỗi Fourier, Hermann Weyl chứng minh định đề mạnh hơn nhiều. Ông chứng minh rằng tập các phần thập phân ${n \alpha - [n \alpha]}$ phân bố đều trên đoạn ${[0,1]}$ . Nếu lấy một đoạn con ${[a,b]}$ nằm giữa 0 và 1, xác suất để ${n \alpha - [n \alpha]}$ rơi vào trong đoạn này đúng bằng ${b-a}$ .

Gọi ${I_{[a,b]}}$ là hàm đặc trưng của đoạn ${[a,b]}$ , cái bạn muốn chứng minh là dãy số

$\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N I_{[a,b]} (n \alpha-n[\alpha])$

có giới hạn đúng bằng ${b-a}$ khi ${N}$ tiến ra vô cùng. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

11/03/2012 lúc 16:10

Posted in Toán

Tagged with Fourier, Weyl

Phạm trù và đồng luân (2)

with one comment

Phải thừa nhận là “Phạm trù và đồng luân (1)” rất khó hiểu, không chỉ đối với người đọc mà cả đối với người viết Tôi đã mắc khuyết điểm là kéo bạn đi quá nhanh, đi từ những cái bạn biết là không gian tô pô, ánh xạ liên tục đến những chỗ mà cả bạn lẫn tôi và thực ra cả nhân loại chưa hiểu rõ, đó là đồng luân cấp cao.

Bây giờ là lúc bạn nhẩn nha quay chậm lại cuộn phim để níu kéo lại một chút gì hữu hình cho bạn. Bạn có một không gian tô pô ${X}$ . Bạn xét các điểm của ${X}$ , rồi xét các đoạn thẳng trong ${X}$ tức là các ánh xạ liên tục ${[0,1] \rightarrow X}$ , rồi các hình vuông trong ${X}$ tức là các ánh xạ liên tục ${[0,1]^2 \rightarrow X}$ , rồi hình vuông ba chiều (lập phương), rồi hình vuông ${n }$ chiều.

Cố định một điểm qui chiếu ${x\in X }$ . Nhóm cơ bản ${\pi_1(X,x )}$ là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) các đoạn thẳng xuất phát và kết thúc tại điểm ${x }$ , tức là ánh xạ ${f:[0,1] \rightarrow X }$ với ${f(0)=f(1)=x}$ . Nói cách khác thì $f$ là một ánh xạ liên tục từ hình tròn ${S^1}$ vào ${X }$ . Khi bạn buộc hai đầu mút của đoạn ${[0,1]}$ lại với nhau, nó trở thành cái gì đó giống như hình tròn.

Phần tử đơn vị của ${\pi_1(X,x)}$ là lớp của ánh xạ hằng ${e:[0,1] \rightarrow X }$ với ${e(\alpha)=x }$ với mọi ${\alpha \in [0,1]}$ . Đồng luân của ${e}$ với chính nó là một ánh xạ liên tục ${f:[0,1] \times [0,1] \rightarrow X }$ nhận giá trị ${x}$ trên biên của hình vuông. Nói cách khác ${f}$ là một ánh xạ liên tục từ mặt cầu ${S^2}$ vào ${X }$ . Tưởng tượng hình vuông như một cái mù soa, khi bạn buộc biên của mù soa lại, nó trở thành cái gì đó giống như mặt cầu. Như vậy nhóm đồng luân cấp hai ${\pi_2(X,x)}$ là nhóm các lớp tương đương (đồng luân) của các ánh xạ liên tục ${S^2 \rightarrow X}$ gửi một điểm qui chiếu của mặt cầu (nơi biên của hình vuông chập lại) lên điểm qui chiếu ${x}$ của ${X}$ . Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

02/03/2012 lúc 04:56

Posted in Toán

Tagged with Phạm trù, Đồng luân

Phạm trù và đồng luân (1)

with 8 comments

Chép lại từ blog cũ

*****

Người Ấn Độ day dứt từ ngàn năm với cái vòng luân hồi, làm cả thế giới day dứt theo. Không biết thì thôi, chứ biêt nay mai mình hóa ra con bọ biết bay thì thấy cũng lo lo. Nỗi lo luân hồi của các nhà tô pô cũng canh cánh không kém. Các ông ấy băn khoăn không biết thế giới này phải đồng luân mấy vòng thì mới thoát

Có ai đi hết mặt cầu
Đồng luân mấy nẻo về đâu thoát đời.

Bài toán làm các nhà tô pô đau đầu từ mấy chục năm nay là tính đồng luân mặt cầu. Cuộc đau đầu tập thể này vẫn đang tiếp diễn.

****

Bạn nối từ điểm $x$ đến điểm $y$ trên mặt giấy bằng một nét bút, thẳng cong tùy ý, gãy khúc cũng được, miễn là đầu bút không được rời khỏi mặt giấy. Trong ngôn ngữ toán học, một cung là một ánh xạ liên tục $f : [0,1] \to X$ với từ đoạn thẳng đơn vị vào không gian tô pô $X$ mặt giấy có điểm đầu là $f(0)=x$ và điểm cuối là $f(1)=y$ . Tô pô là khái niệm toán học diễn đạt một cách chính xác khái niệm ánh xạ liên tục.

Không gian $X$ là liên thông nếu với mọi điểm $x,y \in X$ , ta có thể băc một cung tình yêu từ điểm $x$ đến điểm $y$ . Thực ra, trong tô pô, người ta gọi thuộc tính này là liên thông theo cung, để dành chữ liên thông cho một thuộc tính hao hao. Nói chung, trong tất cả các không gian ta thường gặp, liên thông và liên thông theo cung là tương đương nhau, và ta không dại gì mà không tự hạn chế vào trường hợp đó. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

22/02/2012 lúc 04:46

Posted in Toán

Tagged with Phạm trù, Đồng luân

Chuỗi Fourier (5)

Chuỗi Fourier (4)

with 6 comments

Bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại đi chứng minh hội tụ theo kiểu Cesaro trong khi cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Tôi nói với bạn rằng con đường của khoa học là như thế. Khi chưa đi đến điểm bạn muốn đến, cái bạn phải làm là thiết lập những điểm tựa vững chắc để khi leo lên đó bạn có thể nhìn ra bốn phương tám hướng. Khổ nhất là sau cuộc tranh luận vã mồ hôi, bạn quay lại đúng điểm nơi bạn đã xuất phát.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng ${S_N(f)}$ của chuỗi Fourier xấp xỉ ${f}$ , nhưng bạn đã chứng minh được rằng dãy các tổng Cesaro ${\sigma_N(f)}$ hội tụ đều đến ${f}$ . Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến ${f}$ và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier ${a_n}$ của hàm tuần hoàn liên tục ${f}$ hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue). Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

12/02/2012 lúc 20:57

Posted in Toán

Tagged with Fourier, Lebesgue, Riemann

Chuỗi Fourier (3)

with 3 comments

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân ${[K_n(x)]_{n=1}^\infty}$ bao gồm các hàm liên tục trên ${[0,1]}$ được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

với mọi ${n}$ , ${\int_{0}^1 K_n(x) dx=1}$ ,
tồn tại ${M>0}$ sao cho với mọi ${n}$ ta có ${\int_0^1 |K_n(x)| \leq M}$ ,
với mọi ${\delta>0}$ , ta có ${\int_\delta^{1-\delta} K_n(x) dx \rightarrow 0}$ khi ${n\rightarrow \infty}$ .

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy ${K_n * f}$ hội tụ về ${f}$ . Cho một họ ${[K_n(x)]_{n=1}^\infty}$ xấp xỉ đơn vị và ${f}$ là một hàm khả tích trên ${[0,1]}$ . Khi đó

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (f*K_n)(x)=f(x)$

mỗi khi hàm ${f}$ liên tục tại ${x}$ . Hơn nữa, nếu ${f}$ liên tục khắp nơi thì ${K_n * f}$ hội tụ đều về ${f}$ .

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

$\displaystyle D_N(x)={\sin(2N+1)\pi x \over \sin (\pi x)}$

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy $\displaystyle \int_0^1 |D_N(x)| dx \geq c\log(N)$ . Vì thế tính liên tục của $f$ không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

06/02/2012 lúc 15:30

Posted in Toán

Tagged with Abel, Fejer, Fourier

Chuỗi Fourier (2)

with 5 comments

Trong bài thứ hai, ta đặt câu hỏi hơi siêu hình về “ý nghĩa” của chuỗi Fourier. Câu trả lời là khai triển hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phân tích phổ.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact ${\mathbb R/\mathbb Z}$ . Với mỗi ${y\in [0,1]}$ , xê dịch một khoảng ${y}$ cho bạn một toán tử ${\tau_y}$ trên không gian các hàm ${f}$ trên ${\mathbb R/\mathbb Z}$

$\displaystyle (\tau_y f)(x)= f(x-y).$

Các toán tử ${\tau_x}$ lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm ${e^{2 i \pi nx}}$ chính là các vec tơ riêng

$\displaystyle \tau_y e^{2i \pi nx}= e^{2 i \pi n(x-y)}= e^{-2 i \pi ny} e^{2 i \pi nx}.$

Khai triển thành chuỗi Fourier

$\displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^\infty a_n e^{2 i \pi nx}$

có thể xem như cách biểu diễn ${f}$ thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm ${f}$ là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử ${\tau_x}$ . Mỗi hàm khả tích ${\phi}$ trên ${[0,1]}$ tác động lên ${f}$ bằng công thức “tích chập”

$\displaystyle (\phi* f)(x)=\int_0^1 \phi(y) f(x-y) dy.$

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử ${\tau_y}$ với trọng cho bởi ${\phi(y)}$ . Theo một nghĩa nào đó, nếu thay ${\phi}$ bằng phân bố Dirac ${\delta_y}$ thì ta tìm lại được toán tử ${\tau_y}$ . Các hàm ${e^{2 i \pi nx}}$ tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

02/02/2012 lúc 01:42

Posted in Toán

Tagged with Fourier

Chuỗi Fourier (1)

with 7 comments

Sau đây là một chuỗi bài về chuỗi Fourier, chủ yếu lược dịch từ quyển sách của E. Stein “Fourier Analysis”.

Cho ${f}$ là một hàm khả tích trên đoạn ${[0,1]}$ thỏa mãn ${f(0)=f(1)}$ . Ta có thể xem nó như là một hàm tuần hoàn hay là một hàm trên nhóm compact ${{\mathbb R}/{\mathbb Z}}$ . Chuỗi Fourier của ${f}$ là chuỗi hình thức

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx}$

với hệ số thứ ${n}$ là

$\displaystyle a_n=\hat f(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 i \pi nx} dx.$

Với mỗi số tự nhiên ${N}$ , ta xét tổng riêng thứ ${N}$

$\displaystyle S_N(f)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{2 i \pi nx}.$

Câu hỏi cơ bản của lý thuyết các chuỗi Fourier là khi nào thì ${S_N(f)}$ hội tụ đến ${f}$ ? Tất nhiên là có nhiều cách hội tụ khác nhau, nhưng ở đây ta quan tâm trước hết đến hội tụ điểm : với điều kiện nào thì dãy số ${S_N(f)(x)}$ hội tụ đến ${f(x)}$ với ${x\in [0,1]}$ đã cho. Đọc tiếp »

Written by thichhoctoan

30/01/2012 lúc 22:26

Posted in Toán

Tagged with Euler, Fourier

T2	T3	T4	T5	T6	T7	CN
« Tháng 5
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30

Sổ tay Thích Học Toán

Archive for the ‘Toán’ Category

Trang mạng của VIASM

Học hè

Phân bố đều

Phạm trù và đồng luân (2)

Phạm trù và đồng luân (1)

Chuỗi Fourier (5)

Chuỗi Fourier (4)

Chuỗi Fourier (3)

Chuỗi Fourier (2)

Chuỗi Fourier (1)

Trang

Bài viết mới

Chuyên mục

Meta

Nhắn

Thẻ

Cuhinh

5xublog

Tinyhuong

Camlybui

Damtson

Vuhavan

Procul

Goldmund

Nhilinh

Giapvan

Saurieng

Hahuykhoai

Phamvuluaha

Cavenui

Follow “Sổ tay Thích Học Toán”