*****

Người Ấn Độ day dứt từ ngàn năm với cái vòng luân hồi, làm cả thế giới day dứt theo. Không biết thì thôi, chứ biêt nay mai mình hóa ra con bọ biết bay thì thấy cũng lo lo. Nỗi lo luân hồi của các nhà tô pô cũng canh cánh không kém. Các ông ấy băn khoăn không biết thế giới này phải đồng luân mấy vòng thì mới thoát

Có ai đi hết mặt cầu
Đồng luân mấy nẻo về đâu thoát đời.

Bài toán làm các nhà tô pô đau đầu từ mấy chục năm nay là tính đồng luân mặt cầu. Cuộc đau đầu tập thể này vẫn đang tiếp diễn.

****

Bạn nối từ điểm đến điểm trên mặt giấy bằng một nét bút, thẳng cong tùy ý, gãy khúc cũng được, miễn là đầu bút không được rời khỏi mặt giấy. Trong ngôn ngữ toán học, một cung là một ánh xạ liên tục với từ đoạn thẳng đơn vị vào không gian tô pô mặt giấy có điểm đầu là và điểm cuối là . Tô pô là khái niệm toán học diễn đạt một cách chính xác khái niệm ánh xạ liên tục.

Không gian là liên thông nếu với mọi điểm , ta có thể băc một cung tình yêu từ điểm đến điểm . Thực ra, trong tô pô, người ta gọi thuộc tính này là liên thông theo cung, để dành chữ liên thông cho một thuộc tính hao hao.   Nói chung, trong tất cả các không gian ta thường gặp, liên thông và liên thông theo cung là tương đương nhau, và ta không dại gì mà không tự hạn chế vào trường hợp đó.

Bắc cung từ điểm nọ sang điểm kia xác định một quan hệ tương đương trên không gian . Tập các lớp tương đương gọi là tập các thành phần liên thông của . Hai điểm nằm trong cùng một thành phần liên thông thì có thể nối với nhau, hai điểm nằm trong hai thành phần liên thông khác nhau thì không.

Tập các thành phần liên thông là bất biến thô sơ nhất, nhưng cũng là cơ bản nhất của không gian . Nhưng còn những bất biết tinh tế hơn nhiều, nhóm cơ bản , và các nhóm đồng luân cấp cao .

Để hiểu định nghĩa các nhóm đồng luân cấp cao, tốt nhất là dựa vào mấy khái niệm phạm trù, 2-phạm trù, 3-phạm trù … Đây là những khái niệm thậm trừu tượng, khó tiêu hóa, nhưng trong bối cảnh của đồng luân, chúng trở nên khá trực quan.

Thay cho hành động thô bạo lấy lớp tương đương, ta xét phạm trù với đối tượng là các điểm của và với ánh xạ từ đến là tập các cung nối từ đến . Hai đối tượng tương đương với nhau, nếu có ít nhất một ánh xạ rọi từ đối tượng này qua đối tượng kia. Ánh xạ là quan hệ giữa các đối tượng. Trong một phạm trù, quan hệ đóng vai trò quan trọng hơn đối tượng.

Vấn đề đồng luân nằm ở chỗ có quan hệ giữa các quan hệ. Cho là một ánh xạ liên tục. Khi đó ta nói cung khởi và cung kết là đồng luân với nhau.

Nếu thay vì các cung, ta xét các lớp tương đương các cung theo quan hệ đồng luân, thì ta có một phạm trù mới. Tập các tự đẳng cấu của trong phạm trù này là nhóm cơ bản . Nói một cách ngắn gọn hơn, là nhóm các lớp tương đương các cung từ vòng lại xét theo quan hệ đồng luân.

Thay cho hành động thô bạo lấy lớp tương đương các cung theo quan hệ đông luân, ta có thể xây thêm một tầng trừu tượng hơn nữa. 2-phạm trù không chỉ có vật, quan hệ, mà còn có quan hệ giữa hai quan hệ. Ở đây các 2-quan hệ laị được xét modulo tương đương đồng luân. Khi đó nhóm các 2-tự đẳng cấu của một cung nào đó chính là nhóm đồng luân bậc hai .

Tiếp tục với 3-phạm trù, ta định nghĩa được … và câu chuyện có thể tiếp diễn đến vô cùng.

Cuộc sống sẽ vô cùng đơn giản nếu ta chỉ cần định nghĩa, không cần tính toán cụ thể. Nhóm cơ bản nói chung có thể tính theo sự chỉ dẫn của Van Kampen. Nhóm cơ bản của đường thẳng thì bằng không trong khi nhóm cơ bản của đường tròn thì đẳng cấu với .

Các nhóm đồng luân cấp cao khó tính hơn nhiều. Đến bây giờ, người ta vẫn chưa biết làm thế nào tính được các nhóm đồng luân cấp cao của mặt cầu nhiều chiều.

Cho là một hàm tuần hoàn liên tục có đạo hàm tại một điểm . Khi đó chuỗi Fourier sẽ hội tụ tại điểm .

Bạn có thể giả thiết và . Bạn cũng có thể coi như một hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và có đạo hàm tại điểm . Cái bạn cần chứng minh là tích phân

tiến về khi tiến ra .

Cái khó chịu trong tích phân trên là mẫu số . Cái mẹo của bạn là xét hàm

với mỗi giá trị . Sử dụng nguyên tắc l’Hopital, bạn biết hàm này có giới hạn khi và vì thế có thể thác triển thành một hàm liên tục trên đoạn . Tích phân ở trên nay có thể viết thành

và bạn chợt nhận ra rằng cái bạn muốn chứng minh là hệ quả của định lý Riemann-Lebesgue đã được nhắc đến.

Do tinh ý, bạn chợt băn khoăn vì hàm chưa chắc đã là một hàm tuần hoàn liên tục ; chết chửa . Sự gián đoạn của hàm tại một điểm thực ra không ảnh hường đến chứng minh định lý Riemann-Lebesgue mà bạn đã nắm vững. Định lý này đúng cho mọi hàm khả tích. Bạn cũng nhận ra rằng có thể làm yếu đi giả thiết liên tục trong định lý hội tụ điểm đươc nêu ở trên.

Có nhiều định lý hội tụ điểm của chuỗi Fourier tinh vi hơn, điển hình là định lý Carleson-Hunt khẳng đinh sự hội tụ hầu hết khắp nơi của mọi hàm với . Thú thật là tôi không biết chứng minh đinh lý này như thế nào nên không giúp bạn hơn được.

Có một định lý khác, dễ hơn, nhưng cũng rất quan trọng, đó là định định lý hội tụ của chuỗi Fourier trong không gian theo chuẩn . Nhưng chủ đề này nên để dành lại sau. Trong những bài tới, tôi xin kể với bạn một vài ứng dụng của chuỗi Fourier, vẫn tiếp tục dựa vào quyển Fourier Analysis của Stein.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng của chuỗi Fourier xấp xỉ , nhưng bạn đã chứng minh được dãy các tổng Cesaro hội tụ đều đến . Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier của hàm tuần hoàn liên tục hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue).

Nếu là hàm liên tục và tuần hoàn, bạn biết rằng cho mọi , với đủ lớn, với mọi . Hệ số Fourier thứ của có trị tuyệt đối

Nếu , hệ số Fourier thứ của bằng không cho nên vế trái của bất đẳng thức trên chỉ đơn giản là . Vì thế, dãy tiến về khi .

Không “làm gì” thì ta cũng biết dãy các hệ số Fourier của một hàm tuần hoàn và liên tục là bị chặn. Có “làm gì”, ta biết thêm dãy này hội tụ về không.

Hàm càng trơn, thì dãy các hệ số Fourier của nó hội tụ càng nhanh. Nếu thuộc vào lớp tức là khả vi với vi phân là một hàm liên tục, sử dụng tích phân từng phần như trong Fourier (1), bạn biết . Sử dụng thêm Riemann-Lebesgue như ở trên, bạn biết thêm . Tương tự như vậy, nếu thuộc vào lớp , bạn biết …

Bạn vẫn chưa hiểu cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Nhưng trên đường đi, bạn hiểu thêm vài điều thú vị như ở đây là tính hội tụ của các hệ số Fourier.

1. với mọi , ,
2. tồn tại sao cho với mọi ta có ,
3. với mọi , ta có khi .

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy hội tụ về . Cho một họ xấp xỉ đơn vị và là một hàm khả tích trên . Khi đó

mỗi khi hàm liên tục tại . Hơn nữa, nếu liên tục khắp nơi thì  hội tụ đều về .

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy . Vì thế tính liên tục của không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier.

Thay cho nhân của Dirichlet, bạn cũng có thể xét họ các nhân của Fejer

và bạn kiểm tra được rằng

Bạn quan sát thây họ các nhân của Fejer xấp xỉ đơn vị. Rồi bạn rút ra kết luận là với mọi hàm khả tích trên , tại mỗi điểm liên tục , hội tụ về khi . Khi liên tục khắp nơi thì hội tụ đều về . Bạn nói rằng chuỗi Fourier hội tụ theo kiểu Cesaro. Tính liên tục của không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier nhưng đảm bảo được sự hội tụ theo kiểu Cesaro.

Họ các nhân của Poisson

phụ thuộc vào tham số với cũng rất đáng lưu ý. Bạn tính được

và từ đó bạn suy ra rằng họ này xấp xỉ đơn vị khi . Bạn rút ra kết luận vơi mọi hàm khả tích trên đoạn , tại mỗi điểm liên tục , hội tụ về khi . Nếu liên tục khắp nơi thì hội tụ đều về .

Tích chập biểu diễn được dưới dạng tổng Abel

và bạn nói rằng chuỗi Fourier hội tụ theo kiểu Abel.

Nói chung, hội tụ thông thường kéo theo hội tụ kiểu Cesaro, hội tụ kiểu Cesaro kéo theo hội tụ kiểu Abel … Đôi lúc bạn muốn cho thêm giả thiết để có định lý theo chiều ngược lại. Một định lý theo chiều ngược lại gọi là định lý Tauber. Ngoài định lý gốc của Tauber, còn có triệu triệu định lý Tauberc biến thái và chúng thường rất có ích trong lý thuyết số giải tích. Một ví dụ điển hình là chứng minh định lý về các số nguyên tố mà chũng ta sẽ quay lại bàn sau.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact . Với mỗi , xê dịch một khoảng cho bạn một toán tử trên không gian các hàm trên

Các toán tử lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm chính là các vec tơ riêng

Khai triển thành chuỗi Fourier

có thể xem như cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử . Mỗi hàm khả tích trên tác động lên bằng công thức “tích chập”

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử với trọng cho bởi . Theo một nghĩa nào đó, nếu thay bằng phân bố Dirac thì ta tìm lại được toán tử . Các hàm tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập.

Tổng riêng trong chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của tích chập :

cho nên với

là nhân Dirichlet thứ .

Như ta đã nhận xét tích chập với phân bố Dirac là toán tử đơn vị . Vì thế câu hỏi vè sự hội tụ của chuỗi Fourier có thể qui về sự hội tụ của nhân Dirichlet về phân bố Dirac khi . Như ta sẽ thấy ở bài tiếp sau, nhân Dirichlet không hội tụ về , chính vì thế chuỗi Fourier đôi khi hội tụ, đôi khi không. Tuy thế, việc phát biểu lại bài toán dưới dạng hội tụ của nhân về phân bố Dirac cho ta một cái nhìn hoàn toàn mới về tính hội tụ của chuỗi Fourier.

Bài của anh Hoàng Hồng Minh đã đăng trên Tia Sáng.

*****

Giống như mọi người, tôi vẫn nhớ mãi cái thuở mình còn rất trẻ. Khác nào như buổi sớm mùa xuân cựa mình ở vùng trung du, sương móc giăng yên ả trên những ngọn cỏ, và hơi nồng của đất quyện vương với mùi khói rơm tỏa từ bếp lửa sớm của nhà nào trong xóm.

Và rồi tôi bắt đầu tham dự buổi hội thảo đầu tiên của giới học thuật ! Chao, mình người lớn rồi nha, bàn toàn những vấn đề cực to.

Buổi sáng khai mạc hôm ấy có ba chuyến tham luận dài như những đoàn tàu hỏa sang sảng trôi qua. Giờ giải lao đến, anh Ba, người đàn anh mới của tôi, mời tôi ra quán nước trà kẹo lạc bên kia đường để « tĩnh tâm ».

-« Sao, nhà học giả trẻ Cụ Hinh, bạn thấy các tham luận ra sao ? »

-« Dạ, khó nói quá ạ… Chặt chẽ, kín bưng, hùng dũng… »

-« Cậu được đấy, thật thà… Nhưng mà, dát.

Tôi thấy thế này : họ tham luận cốt để khoe mẽ dọa người là một, để siêu tự vệ không một kẽ hở là hai, để lĩnh nhuận bút là ba. Còn lại chả có cái nội dung gì.

Họ có một bài thôi, hát ở khắp nơi, rằng đâu có họp là ta cứ đi.

Các loại bài này, không thể bị phê phán ở đoạn này hay đoạn kia được. Đâu cũng rào then ‘như dưới đây sẽ nói’, ‘như trên kia đã nói’, ‘xem toàn tập trang…’, bày binh bố trận tinh xảo, không biết đâu mà lần, đã rơi vào trong là không có lối ra. Chỉ có một cách, là cho toàn bộ những bài vở chết tiệt này vào sọt rác. »

Ông chủ quán hiền hậu đơm thêm lượt trà mới cho hai anh em, cười giòn «cứ chuyện đi, lượt trà này tôi biếu nhuận khẩu, không tính tiền! ».

—-

Vừa vặn lúc ấy bác Hai bước vào oang oang « mấy ông này lại rình nói xấu tôi hả ? Lạ gì ! Cho tôi nước nhá, ông chủ kính mến của tôi!».

Bác Hai chính là người đọc tham luận sang sảng lúc vừa rồi trên hội trường !

Ghế đẩu được kê thêm vào. Thêm người, cái quán đầu xuân vênh cửa này cũng đỡ lạnh hơn.

-« Mời bác Hai ! Đúng thế đấy, đang nói xấu người vắng mặt, như xưa nay thôi! Giới thiệu với bác Hai, một học giả trẻ của tương lai, mới tinh, bạn Cụ Hinh. Có người mới, nên có dịp nói lại chuyện cũ. »

Bác Hai trịnh trọng là thế trên diễn đàn lúc nãy, mà giờ này thì đã lại rất tinh anh dân dã.

-« Tôi biết thừa các ông nói gì về bọn tôi rồi ! Biết cả là các ông đang nói về chính tương lai của các ông mà các ông không biết đó thôi. »

Có sếp lớn, anh Ba gọi thêm đĩa kẹo lạc.

Bác Hai bảo.

-« Hôm nay có bánh kẹo, trà lá trên sảnh bên hội trường, chắc các anh chị em chúng nó tiết kiệm tiền không ra quán à ? Lỗ ông chủ nhé ! Ít người, nói chuyện kiểu ít người, cũng hay. »

Anh Ba bảo.

-« Xưa bác Hai cũng múa gươm chịu chơi lắm, dạo này bác nói tôi buồn ngủ quá ! »

-« Thế này nhé – Bác Hai hắng giọng.

Bây giờ người ta đến hội thảo để làm gì ? Như cậu vẫn thích nói đấy thôi, để khoe mẽ dọa người là một, để siêu tự vệ không một kẽ hở là hai, để lĩnh nhuận bút là ba.

Nói hay đến giời, có ai nghe ai đâu. Xã hội cổ truyền thì là vua với dân, cùng một ít quan. Nay là xã hội không vua, với vô vàn lớp quan trên dưới lạm phát nhằng nhịt. Hoặc giả có ai nghe ai một chút, thì rồi cũng bỏ đấy thôi, làm được gì ?

Thế nhưng nếu cậu nói hở một câu, mà chưa cần hở thật đâu – chỉ cần ‘có vẻ hở thôi’, thì hôm sau là câu ấy lên đến tận bàn tiệc của cấp trên cùng ! Không phải người ta mách để mà làm quà các mâm trên cao đâu. Mà để có cái làm chứng, để rồi quay về xơi tái cậu.

Tại sao anh Ba nhà ta đây còn nói hăng ? Vì anh Ba nhà ta chưa đạt đủ cân lạng để đáng bị xơi tái, thế thôi. »

Bác Hai thấy bạn Cụ Hinh nghe chăm chú quá, quay sang vỗ vai vui vẻ.

-« Cậu còn trẻ chán, vui tươi đi, bao giờ bằng anh Ba kia, thì chuyện của tôi nó mới ngấp nghé tới cậu.

Nói thêm với các ông thế này.

Xứ mình có nền bắt bẻ, không có nền nghị luận.

Từ vua đến dân, ai nói gì thì cứ lo rào dậu kín bưng, chữ vàng chữ bạc cả đấy. Ông nào cũng là nhà đại kiểm duyệt cả.

Người hay người tốt thì vẫn có, nhưng nền nghị luận hay và tốt, thì còn lâu.

Người ta không chỉ giỏi cái nền bắt bẻ, mà còn có bầu trời suy diễn siêu việt thêm nữa. »

Anh Ba quay sang « bạn Cụ Hinh đã thấy chàng trai anh Hai ngày nào chưa? »

-« Vâng, thưa bác Hai với anh Ba, tôi trẻ người, nhưng thấy người ta khi đọc khi nghe thì không hề cố tìm cách hiểu cái dòng chảy suy nghĩ của tác giả, tìm cách lật đi lật lại các vỏ từ của tác giả dùng để xem chúng chứa những nội dung gì mới của riêng tác giả đó. Người ta có vẻ chỉ lăm le lên đạn sẵn, chực xem người kia nói chỗ nào có vẻ chệch mình, là nổ súng liền ạ. »

Bác Hai cười sảng chí.

-« Chà, tay chịu chơi này cũng đáng hứa hẹn a ! Để tôi nói tiếp.

Nghị luận đối với người xứ Đông là võ công, là khẩu chiến, nôm na là võ miệng. Võ công thì trước hết phải thủ thế an toàn, mười phân vẹn mười, cốt sao cho không ai làm gì được mình đã. Chiến đấu mà lại sẵn sàng để cho người ta thắng mình, đấy là chuyện gì chứ không phải là võ công. Hơn nữa thì rồi lừa miếng, rồi chớp thời cơ, rồi quật ngã đối thủ mà giành chiến thắng.

Các biện sĩ thời xưa bắt đầu cuộc luận tranh nào cũng phải kín đáo, gói ghém chuyện từ « Tam hoàng, ngũ đế » đã, rồi khéo bày ra cái lưới lý luận kín bưng bâng quơ, để cuối cùng bất ngờ « ụp một cái » chụp ngay được đối thủ tranh luận vào trong chiếc vó luận của mình và khua trống đem trình bà con.

Đỉnh cao của công nghệ này là cuộc khẩu chiến giữa Gia Cát Lượng với Vương Lãng, các ông nhớ chứ. Ông Vương Lãng trổ tài mắng Gia Cát Lượng, đã tưởng trên tuyệt vời, đã cất vó được đối thủ. Thế mà khi bị Gia Cát Lượng mắng lại, ông Vương Lãng phải tức hộc máu lăn đùng xuống ngựa mà chết tại chỗ trong cái vó luận của Gia Cát Lượng. Thực ra thì hai ông này luận biện giống hệt nhau, khác nhau chỉ về kín hở, cùn sắc tí tẹo mà thôi. Mà rồi tôi nghĩ cuốn Tam Quốc cũng bịa vụ này nốt, cốt để khoe cái người kể chuyện thành ra là người trên tài cả Gia Cát Lượng ! Tranh biện ở xứ Đông cốt sao sướng được miệng mình, tàn hại được đối thủ, ở tầm cao nhất có thể !

Tôi nói chung vậy thôi, chứ riêng tôi rất quí các bạn đấy nhé, anh Ba biết tôi lâu rồi. Các bạn tranh biện in ít thôi, đủ về phong trào, cũng có thêm nhuận bút mà sống. Còn lại anh em cố gắng lẳng lặng mà nghiên cứu tìm tòi, làm được cái gì dài hơi, đừng phí ngày phí tháng. Tôi từ ngày làm quản lý cũng linh tinh quá, rồi đến lúc nào cũng phải dứt ra thôi.

Thôi ta vào đi, muộn rồi. Ông chủ ghi sổ tôi đi, mấy chục năm ghi sổ nhau rồi còn gì. Hôm nay tôi chiêu đãi anh em một phần nhuận bút. Nhanh nhanh, còn phải kịp lĩnh tiền rồi đi ăn trưa nữa chứ ! »./.

Cho là một hàm khả tích trên đoạn thỏa mãn . Ta có thể xem nó như là một hàm tuần hoàn hay là một hàm trên nhóm compact . Chuỗi Fourier của là chuỗi hình thức

với hệ số thứ là

Với mỗi số tự nhiên , ta xét tổng riêng thứ

Câu hỏi cơ bản của lý thuyết các chuỗi Fourier là khi nào thì hội tụ đến ? Tất nhiên là có nhiều cách hội tụ khác nhau, nhưng ở đây ta quan tâm trước hết đến hội tụ điểm : với điều kiện nào thì dãy số hội tụ đến với đã cho.

Ta sẽ xét hai ví dụ: một không hội tụ tuyệt đối, một hội tụ tuyệt đối. Để cho tiện, ta xét hàm trên một đoạn có độ dài . Chuỗi Fourier của nó sẽ là

với

1. Hàm lưỡi cưa. Xét hàm trên đoạn cho bởi . Nó thác triển thành một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng mà đồ thị trông như một lưỡi cưa. Hàm tuần hoàn này liên tục khắp nơi ngoại trừ tại các số nguyên lẻ. Hệ số hằng bằng không trong khi các hệ số khác có thể tính được bằng tích phân từng phần

   

   Chuỗi Fourier

   

   không hôi tụ tuyệt đối tại bất kỳ điểm nào của đoạn .

2. Hàm bình phương. Xét hàm trên đoạn cho bởi . Nó thác triển được thành một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng . Hàm tuần hoàn này liên tục khắp nơi, nó cũng khả vị khắp nơi ngoại trừ tại các số nguyên lẻ nơi mà đạo hàm của nó có một bước nhảy . Trong chuỗi Fourier , hệ số hằng bằng

   

   Các hệ số khác có thể tính được bằng tích phân từng phần

   

   Chuỗi Fourier

   

   hội tụ đều và tuyệt đối. Chúng ta sẽ chứng minh sau là chuỗi này hội tụ về . Tính bằng chuỗi Fourier bạn có đẳng thức

   

   Tính bằng chuỗi Fourier, bạn tìm thấy đẳng thức của Euler

   

Ví dụ vừa rồi cho thấy sức mạnh của tính chất hội tụ điểm của chuỗi Fourier.

Vậy thì khi nào dãy số hội tụ đến với đã cho. Câu trả lời chung chung, nhưng đáng lưu ý, là tính hội tụ của chuỗi Fourier tại điểm chỉ phụ thuộc vào tính liên tục hay khả vi của hàm tại một lân cận bé tùy ý của điểm . Câu trả lời cụ thể sẽ được phân tích sau.

*****

Nhân dịp chào xuân Nhâm Thìn, Giáo sư Ngô Bảo Châu đã trải lòng với Tuổi Trẻ Cuối tuần những suy nghĩ của ông về vai trò phản biện của trí thức cũng như giải pháp đòn bẩy có sẵn ngay trong những điểm bất hợp lý…

Giải pháp có sẵn ở điểm bế tắc

Thưa giáo sư, lần đầu tiên kể từ khi thành danh ở xứ người, năm qua giáo sư đã dành thời gian làm việc tại quê nhà suốt 3 tháng ròng. Trong 3 tháng đó có gì làm cho giáo sư thất vọng hay ngược lại, giáo sư có điều gì để hy vọng?

Thực ra không có gì phải thất vọng đâu chị, mặc dù khi tôi về mọi việc thật ngổn ngang. Tháng 6/2011, bộ máy hành chính của viện Nghiên cứu Cao cấp (NCCC) về Toán mới bắt đầu hoạt động. Khi ta muốn xây dựng một cái gì từ con số không, thì khó khăn là tất yếu. GS Lê Tuấn Hoa, Giám đốc Điều hành của viện và tôi đã xác định trước là mình phải rất cố gắng trong giai đoạn này.

Hy vọng thì nhiều. Qua dịp hè vừa rồi, tôi cảm thấy thấy sự ủng hộ của Chính phủ dành cho Viện là tương đối chắc chắn. Tuy thế những khó khăn mang tính chất hành chính thì vẫn muôn hình vạn vẻ, nhưng tôi hy vọng là giai đoạn này cũng sẽ chóng kết thúc để năng lượng được dồn vào những việc thực sự bổ ích là làm khoa học.

Cái không dễ chút nào chúng tôi là giải thích với các Bộ có chức năng rằng khoa học thực sự, đặc biệt là khoa học cơ bản rất khó làm được trên nguyên tắc đơn đặt hàng. Vai trò của Viện là nhìn thấy những nhóm nghiên cứu mới có tiềm năng, hỗ trợ cho họ về cơ sở vật chất, môi trường làm việc. Tôi rất hy vọng là trong thời gian tới sẽ có nhiều nhà khoa học chủ động đến với Viện với những dự định mà mình ấp ủ.

Nói như vậy không có nghĩa là Vieện NCCC không chú trọng những đơn đặt hàng nghiên cứu toán ứng dụng. Đây là một hướng mà chúng tôi mong muốn sẽ làm được ngày một nhiều trong tương lai.

Hè 2011 cũng là thời gian giáo sư dành nhiều thời gian để giao lưu với giới trẻ nhiều tỉnh thành. Những cuộc giao lưu đó mang đến cho giáo sư những cảm xúc như thế nào và các bạn trẻ ấy có tạo được những ấn tượng đặc biệt với giáo sư?

Cảm xúc mạnh nhất là niềm vui khi cảm thấy dường như mình đang mang đến cho các bạn trẻ được cái gì tốt đẹp, ít nhất là niềm tin vào một cái gì đó tốt đẹp.

Ấn tượng tích cực nhất tôi có được trong những buổi gặp gỡ đó, là tính hướng thiện của các bạn trẻ. Còn có một sự khác biệt tương đối rõ nét giữa những người trưởng thành mà tôi quen biết với các bạn trẻ mà tôi gặp trong các buổi giao lưu. Nếu như nhiều người tôi quen, những người có vị trí xã hội, có thành công trong sự nghiệp hoặc đơn giản là rất giàu, có một cái nhìn rất bi quan về thực tế xã hội thì các bạn trẻ vẫn tràn trề lạc quan và đầy niềm tin vào tương lai.

Không chỉ các bạn trẻ trong nước đang chờ mong nhiều ở giáo sư mà nhiều bạn trẻ đang làm nghiên cứu sinh ở nước ngoài cho biết, họ hy vọng viện NCCC về Toán sẽ là mồi nhóm để thổi bùng ngọn lửa đam mê khoa học trong giới nghiên cứu, từ đó thay đổi môi trường làm việc trong các trường đại học. Giáo sư nghĩ sao?

Tôi nghĩ rằng ngọn lửa đam mê khoa học thì đã có sẵn trong nhiều bạn trẻ rồi. Vấn đề là làm thế nào biến những ngọn lửa đó thành những nhà khoa học chuyên nghiệp. Tôi hy vọng Viện NCCC về Toán sẽ làm được việc đó, đầu tiên là với toán, toán ứng dụng, sau đó là những ngành khoa học có liên quan đến toán như khoa học máy tính, vật lý lý thuyết. Nhưng với qui mô nhỏ của Viện, chúng ta không thể chờ đợi nó giải quyết mọi vấn đề (rất nhiều) của khoa học Việt nam. Nếu ta muốn thực sự thay đổi diện mạo của khoa học Việt Nam, theo tôi nghĩ cái cần làm nhất (mà chắc ai cũng biết) là đặt chất lượng nghiên cứu khoa học lên như một nhiệm vụ ưu tiên hàng đầu của các trường đại học. Tất nhiên, nếu tính chất ưu tiên hàng đầu không phải là nói suông, thì nó sẽ kéo theo nhiều chính sách khác.

Nói đến chuyện thay đổi chính sách là tôi lại băn khoăn. Hình như cái mà ta làm cho đến nay là thấy cái gì chưa ổn thì ta sửa lại, sắp xếp lại, mà ít để ý đến sự vận động tự nhiên của cuộc sống.

Giáo sư có thể giải thích rõ hơn nhận xét này được không?

Đơn cử hai vấn đề có tính thời sự hiện nay là việc phát triển mạng lưới ĐH và lương giáo viên. Căn cứ vào tỉ lệ số lượng sinh viên trên tổng số người ở độ tuổi đi học, ta nhận thấy Việt Nam có một tỉ lệ rất thấp so với các nước khác, đã phát triển hoặc đang phát triển. Ta suy ra rằng cần phải có thêm bao nhiêu sinh viên, mở thêm bao nhiêu trường ĐH. Câu chuyện này thoạt nghe thì có vẻ rất đơn giản, mạch lạc. Cũng giống như lương giáo viên, ai cũng thấy là nó rất thấp, không đủ để giáo viên tái tạo sức lao động, vì vậy cần phải tăng lương cho giáo viên và công nhân viên chức nói chung. Đặt ra vấn đề như vậy là rất đúng rồi, nhưng phương pháp luận trong việc giải quyết vấn để thì có thể chưa ổn.

Thay vì ồ ạt mở thêm trường đại học, nâng cấp cao đẳng lên đại học, hoặc là tăng lương công chức một cách đồng loạt, nên chăng coi đó như là một xu hướng để nhân cái đà đó mà cải thiện chất lượng các trường, cải thiện năng suất và chất lượng lao động của công chức nhà nước. Nói cách khác, những cái bất hợp lý hiện tại có thể làm đòn bẩy cho tương lai, làm điểm tựa cho những vận động tích cực của xã hội. Tôi cũng hiểu là bàn chung chung như thế này thì dễ, làm cụ thể như thế nào khó hơn nhiều. Nhưng rõ ràng những biện pháp thuần túy mang tính hành chính sẽ làm triệt tiêu cái đòn bẩy, lợi thế duy nhất của sự bất hợp lý.
Trong chuyện tăng lương cũng vậy. Tôi cảm thấy hình như việc tăng lương đồng loạt cho viên chức không cải thiện mức sống của họ mà chỉ làm tăng lạm phát. Chính phủ có thể tác động lên thu nhập của giáo viên bằng những qui định cơi mở và minh bạch hơn. Tôi lấy ví dụ chuyện chạy trường mà ai cũng biết. Liệu có thể cho phép một số trường tốt có một cơ số học sinh trái tuyến với qui định minh bạch mức lệ phí, có thể rất cao cho học sinh trái tuyến ? Tiền lệ phí được thu một cách minh bạch có thể sử dụng trả một mức phụ cấp cho giáo viên một cách minh bạch. Phụ cấp có thể thấp, cao hoặc rất cao tùy thuộc vào năng lực của giáo viên. Câu chuyện này thực chất đang xảy ra trong thực tế nhưng dưới những hình thức không minh bạch. Nếu có qui định rõ ràng, nhà nước cũng sẽ có thêm phương tiện để điều chỉnh.

Không ai độc quyền chân lý

Gần đây phong trào phản biện của giới trí thức ngày càng sôi nổi. Thậm chí người ta còn cho rằng người lao động trí óc sẽ chưa đạt tầm của một trí thức nếu chỉ biết làm công việc chuyên môn của mình mà chưa bộc lộ được năng lực phản biện xã hội. Còn giáo sư thì suy nghĩ thế nào về trách nhiệm phản biện xã hội của giới trí thức cũng như vai trò của giới trí thức trong xã hội?

Tôi không đồng ý với việc coi phản biện xã hội như chỉ tiêu để được phong hàm “trí thức”. Đến bao giờ chúng ta mới thôi thi đua để được phong hàm “trí thức” ?

Đối với tôi, trí thức là người lao động trí óc. Cũng như những người lao động khác, anh ta cần được đánh giá trước hết trên kết quả lao động của mình. Theo quan niệm của tôi, giá trị của trí thức là giá trị của sản phẩm mà anh ta làm ra, không liên quan gì đến vai trò phản biển xã hội.

Một mặt khác, cần trân trọng những người trí thức, hoạc không trí thức, tham gia công tác phản biện xã hội. Không có phản biện, xã hội đã chết lâm sàng.

Những người có học, có tri thức thực ra cần phải rất tỉnh táo khi tham gia vào việc phản biện xã hội. Học hàm học vị không thể đảm bảo rằng cái anh nói ra, mặc nhiên đúng. Với thói quen làm việc khoa học của mình, cái mà anh có thể làm là đưa ra những lập luận vững chắc và có tính thuyết phục. Nhà lãnh đạo văn minh, có bản lĩnh sẽ biết lắng nghe những lập luận đó. Họ có thể làm theo hoặc không làm theo kết luận của anh. Trong trường hợp họ không làm theo, vẫn dưới giả thiết là lãnh đạo văn minh và có bản lĩnh, lãnh đạo cũng sẽ phải đưa ra những lập luận ít nhất cũng vững chắc bằng những lập luận của anh để bảo vệ quyết định của mình.

Tôi quan niệm vai trò của trí thức là như vậy, anh ta có vai trò gây sức ép lên người lãnh đạo, nhưng cũng như lãnh đạo, anh ta không độc quyền chân lý.

Giáo sư có nói cần khuyến khích mọi thành phần trong xã hội phát biểu ý kiến của mình và lãnh đạo phải lắng nghe tất cả những ý kiến đó. Nhưng điều quan trọng là cuối cùng lãnh đạo cần phải có một quyết định, vậy việc quyết định nên căn cứ vào đâu?

Nếu có một thuật toán để ra quyết định trong mọi trường hợp thì chắc không cần đến lãnh đạo nữa mà thay bằng một cái máy tính. Người lãnh đạo có bản lĩnh sẽ có những hành động nhất quán, chứ không được chăng hay chớ. Đi cùng với sự nhất quán là tính chủ quan, ở đây nếu lắng nghe ý kiến phản biện, người lãnh đạo sẽ tránh được những sai lầm không thể cứu vãn. Theo tôi phẩm chất quan trọng nhất của người lãnh đạo là tính lương thiện, ít nhất là lương thiện vừa đủ để không tự lừa mình bằng những điều viển vông và không tự bao biện cho những sai lầm của mình.

Để tận dụng được cái khả năng suy nghĩ của trí thức, lãnh đạo nên chăng chia sẻ thông tin với họ để nhận được lời tư vấn tốt nhất trước khi đưa ra quyết định?

Đối với người lãnh đạo, chia sẻ thông tin là một việc khó, như từ bỏ một phần quyền lực của mình. Thông tin hoàn toàn mở, anh lãnh đạo sẽ phải tranh luận với anh trí thức trong tình huống cân bằng vũ trang và chưa chắc anh lãnh đạo đã thắng.

Nhưng thực ra, cởi mở thông tin, tranh luận với trí thức, với những người nằm ngoài bộ máy chính là một cách tiếp năng lượng cho anh lãnh đạo, vẫn với giả thiết lãnh đạo văn minh và có bản lĩnh. Để làm được việc, anh lãnh đạo luôn phải phụ thuộc vào bộ máy của mình. Nếu không cởi mở, dừng tranh luận, những quyết định của anh sẽ dần dần chịu ảnh hưởng của bộ máy, phục vụ lợi ích của bộ máy chứ không ưu tiên phục vụ xã hội nữa.

Năm qua là năm có nhiều hoạt động phản biện của giới trí thức trong nước cũng như ngoài nước. Nhiều bản kiến nghị về các vấn đề vĩ mô đã được các trí thức ký tên gửi các lãnh đạo cấp cao của Đảng và Nhà nước. Giáo sư đánh giá thế nào về các hoạt động này? Là một trí thức, giáo sư có muốn đóng góp tiếng nói của mình vào trào lưu chung đó?

Cá nhân tôi thường tránh bàn luận các vấn đề mà tôi không biết rõ. Tôi quan tâm nhiều hơn tới những lĩnh vực mà tôi có thể trực tiếp tham gia hành động thay vì chỉ nêu ý kiến. Nhưng tôi cho rằng, việc đưa ra các phản biện có lập luận chặt chẽ … là những đóng góp lớn cho xã hội, cho đất nước của giới trí thức. Tuy nhiên, trước khi lên tiếng về một vấn đề nào đó, người trí thức hơn ai hết cần phải hết sức ý thức về ảnh hưởng của nó. So sánh thì rất khập khiễn vì thường thì chúng ta không nói đến chuyện sống chết. Nhưng tôi luôn nhớ câu Chế Lan Viên viết trong bài thơ Ai? Tôi?: “Mậu Thân 2.000 người xuống đồng bằng, Chỉ một đêm, còn sống có 30, Ai chịu trách nhiệm về cái chết 2.000 người đó? Tôi! Tôi – người viết những câu thơ cổ võ, Ca tụng người không tiếc mạng mình, trong mọi cuộc xung phong”.

Cảm ơn giáo sư!
Thư Hiên (thực hiện)

Phần 1: ĐAM MÊ TOÁN & TRIẾT LÝ NHÂN SINH

1. GS đến với Toán học như thế nào? Ai là người giúp GS đam mê với Toán? Và vì sao GS chọn “nghiệp toán” cho mình?

Có nhiều người đã nắm tay dắt tôi đi qua những chặng đường khác nhau. Nếu chỉ được chọn một người thì đó là ông Laumon, người hướng đã tôi làm dẫn luận văn tiến sĩ.

2. Với những thành tích của GS, nếu có ai đó nói GS là “thần đồng toán học”, GS sẽ nói gì…?

Tôi sẽ nói là không đúng đâu.

3. Ước mơ lớn nhất của GS thời sinh viên là gì? Và bây giờ, khi nghĩ về nó, GS thấy nó thế nào?

Đó là hiểu toàn bộ toán học và có một đóng góp vào đó. Ước mơ thứ nhất vẫn chưa thực hiện được.
4. Cho đến giờ, thử thách lớn nhất cuộc đời GS là gì?

Hoàn thành chứng minh Bổ đề cơ bản là thử thách lớn nhất.

5. Với không ít người toán học thật khô khan, nhưng với GS, GS tìm thấy triết lý gì từ toán học?

Với các nhà toán học thì toán học không khô khan.

6. Nếu kể một kỉ niệm sâu đậm nhất giữa “mối tình” của GS với Toán học, thì đó là…?

Tôi thực sự cảm nhận được vẻ đẹp của toán học hiện đại trong thời gian chuẩn bị luận văn thạc sĩ. Nói văn hoa như bạn thì đó là ánh chớp tình yêu đầu tiên.

7. Thời học sinh, rồi trở thành SV… đã có lúc nào đó (dù chỉ là thoáng qua) GS nghĩ đến việc sẽ từ bỏ toán chưa, và đó là lúc nào?

Trước khi đi học thạc sĩ, tôi có đi thực tập ở một viện nghiên cứu tin học và tự động hóa. Sau khi thực tập thì tôi hiểu rằng cái mà tôi thực sự thích là toán học.

8. Người ta nghe đến một GS Ngô Bảo Châu thành công rực rỡ. Nhưng chưa ai nghe đến chuyện thất bại của GS. Vậy GS đã từng thất bại chưa, và thất bại lớn nhất của GS là gì? Và làm thế nào GS có thể bước tiếp…?

Ai cũng có nhiều thất bại, nhưng ít kể về thất bại của mình vì thực ra cũng không có gì hay để kể. Qui luật tự nhiên là không dừng lại để gặm nhấm thất bại của mình dù cho thất bại bao giờ cũng để lại một vết thương trong lòng. Tốt nhất là tự nhủ mình rằng mình có một giá trị mà cái thất bại kia không phủ nhận được, hai là mình còn đủ can đảm để nhận thêm vài vết thương nữa.

9. Ai là thần tượng của GS?

Có rất nhiều người đáng kính trọng, nhưng việc thần tượng ai đó có lẽ là không cần thiết.

10. GS thường ứng xử thế nào trước mỗi lời khen?

Những lời khen thật lòng luôn đáng được trân trọng.

11. GS ghét nhất điều gì?

Sự hèn nhát.

12. Theo GS, cám dỗ nhất trong đời người là cái gì?

Cái này còn tùy vào đối tượng.

13. Điều mà GS học hỏi được nhiều nhất sau những năm sống và làm việc ở nước ngoài?

Một tấm lòng rộng mở.

14. Ngoài toán học và tổ ấm của mình, điều gì làm GS quan tâm nhất?

Nhiều không kể hết.

15. Thử tưởng tượng, một ngày nọ, ngủ dậy, GS thấy mình ở một vùng đất lạ. Việc đầu tiên mà GS sẽ làm, là gì?

Tìm hiểu xem mình đang ở đâu.

16. Nếu đang ở trong một ngôi nhà bị hỏa hoạn, đứng trước một lựa chọn là chỉ lấy được 1 trong 3 thứ sau:
A) Một kệ sách tâm đắc nhất
B) Một (độc bản) công trình toán học đang hoàn thành dở dang (tầm cỡ như công trình chứng minh Langlands).
C) Tất cả số tiền mà gia đình có.
GS sẽ chọn gì? Vì sao?

Chắc là cứu tiền. Cứu tiền mới cứu được người. Mà người thì quan trọng hơn sách vở.

16. Cuốn sách mà GS đang đọc là…?

Sauf-conduit của Pasternak.

Phần 2: ĐAM MÊ & THẾ CUỘC

17. Cho đến bây giờ, một triết lý sống mà GS luôn theo đuổi là?

Sống cho đẹp.

18. Để theo đuổi tận cùng niềm đam mê, GS đã phải vượt qua những thử thách nào?

Thử thách lớn nhất là đối mặt với sự kém cỏi của chính mình.

19. Theo GS, tố chất nào cần có ở một người trẻ?

Sự can đảm và một tấm lòng rộng mở.

20. Theo riêng GS, khát vọng lớn nhất của người trẻ Việt Nam là gì?

Khát vọng lớn nhất của người trẻ luôn là làm nảy nở những chồi tài năng mà có trong mình.

21. Nếu được nói 03 điều về giới trẻ Việt Nam hiện nay, GS sẽ nói điều gì?

Hãy can đảm, biết tin vào mình và có một tấm lòng nhân hậu, rộng rãi.

22. Tố chất nào ở một người trẻ/sinh viên sẽ được GS đánh giá cao nhất?

Cam đảm, tự tin và có một tấm lòng nhân hậu, rộng rãi.

23. Theo GS, làm thế nào để người trẻ không thờ ơ với thế cuộc, biết lo cho nỗi lo của dân tộc?

Hãy nói với họ rằng tương lai của họ, của con cái họ sau này là một phần của tương lai dân tộc.

24. Có người nói một dân tộc có những người trẻ đầy khát vọng và đam mê là một dân tộc có sức sống mãnh liệt. Quan điểm của GS thế nào?

Tôi suy nghĩ nhiều đến con người và đất nước Việt Nam nhưng tôi ít quan tâm đến khái niệm dân tộc theo nghĩa nòi giống.

25. Theo GS, làm sao để người trẻ được lắng nghe?

Hãy nói những gì mình nghĩ chứ đừng nhắc lại những gì người khác nói.

Phần 3: PHẨM CÁCH CỦA TRÍ THỨC & KHÔNG GIAN HỌC THUẬT

26. GS nghĩ gì khi một bộ phận xã hội (trong đó có trí thức) đang vô cảm với những nỗi đau khổ của người khác (tình trạng vô cảm)?

Tôi nghĩ rằng cái còn nguy hiểm hơn sự vô cảm và cũng có thể là một nguyên nhân của sự vô cảm đó là việc sức mạnh, thường là đồng tiền, được coi là thước đo duy nhất cho mọi hoạt động và từng cá nhân trong xã hội.

27. GS có đồng ý định nghĩa, trí thức trong việc không để xã hội “ngủ”?

Người trí thức có nhiệm vụ quấy rầy khi những người khác ngủ trong những định kiến của mình.

28. Theo GS, đâu là phẩm cách quan trọng của một trí thức?

Trí thức cần tinh thần cầu thị, ham học, đầu óc phân tích, lập luận sắc bén. Người trí thức cần thêm sự can đảm và một tấm lòng rộng rãi, nhân hậu.

29. Trí thức cần gì nhất, theo GS?

Tự do.

30. GS nhận xét gì về đời sống học thuật trong nước? Làm thế nào để xây dựng một không gian học thuật đúng nghĩa?

Có một khoảng cách quá lớn giữa khả năng của từng con người và chất lượng của kết quả lao động. Để xây dựng một không gian học thuật đúng nghĩa, cần đặt chất lượng của lao động khoa học lên vị trí ưu tiên nhất.

31. Ở VN, hầu như ai cũng ca thán về chất lượng đào tạo đại học. Dưới góc nhìn của GS, vì sao câu chuyện này được xới lên mãi nhưng vẫn chưa có một giải pháp khả thi?

Tôi nghĩ rằng các trường đại học ở VN vẫn chưa thực lòng đặt chất lượng nghiên cứu khoa học và chất lượng giảng dạy lên như ưu tiên hàng đầu.

32. Báo cáo mới nhất của UNDP cho biết: người dân VN phải dành 50% số tiền tiết kiệm được cho con cái đi học ĐH, Nhà nước dành 20% GDP cho giáo dục… Nhưng với chất lượng như hiện nay, GS có thấy có đắt đỏ quá không?

Có lẽ nói 20% của ngân sách nhà nước thì chính xác hơn. Dù sao đây cũng là con số lớn. Chúng ta có thể đặt câu hỏi tại sao đời sống của giáo viên, đặc biệt ở các vùng xa, lại vẫn cùng cực đến như thế.