Chuỗi Fourier (2)

Trong bài thứ hai, ta đặt câu hỏi hơi siêu hình về “ý nghĩa” của chuỗi Fourier. Câu trả lời là khai triển hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phân tích phổ.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact ${\mathbb R/\mathbb Z}$ . Với mỗi ${y\in [0,1]}$ , xê dịch một khoảng ${y}$ cho bạn một toán tử ${\tau_y}$ trên không gian các hàm ${f}$ trên ${\mathbb R/\mathbb Z}$

$\displaystyle (\tau_y f)(x)= f(x-y).$

Các toán tử ${\tau_x}$ lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm ${e^{2 i \pi nx}}$ chính là các vec tơ riêng

$\displaystyle \tau_y e^{2i \pi nx}= e^{2 i \pi n(x-y)}= e^{-2 i \pi ny} e^{2 i \pi nx}.$

Khai triển thành chuỗi Fourier

$\displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^\infty a_n e^{2 i \pi nx}$

có thể xem như cách biểu diễn ${f}$ thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm ${f}$ là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử ${\tau_x}$ . Mỗi hàm khả tích ${\phi}$ trên ${[0,1]}$ tác động lên ${f}$ bằng công thức “tích chập”

$\displaystyle (\phi* f)(x)=\int_0^1 \phi(y) f(x-y) dy.$

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử ${\tau_y}$ với trọng cho bởi ${\phi(y)}$ . Theo một nghĩa nào đó, nếu thay ${\phi}$ bằng phân bố Dirac ${\delta_y}$ thì ta tìm lại được toán tử ${\tau_y}$ . Các hàm ${e^{2 i \pi nx}}$ tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập.

Tổng riêng trong chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của tích chập :

$\displaystyle \begin{array}{rcl} S_N(f)(x) &=& \sum_{n=-N}^N \hat f(n) e^{2i \pi nx} \\ &=& \sum_{n=-N}^N e^{2i \pi nx}\int_0^1 f(y) e^{-2 i \pi ny} dy\\ &=& \sum_{n=-N}^N \int_0^1 e^{2 i \pi n(x-y)} f(y) dy \\ &=& \int_0^1 \sum_{n=-N}^N e^{2 i \pi n(x-y)} f(y) dy \end{array}$

cho nên ${S_N(f)=D_N * f}$ với

$\displaystyle D_N(x) = \sum_{n=-N}^N e^{2 i \pi nx} \ \ \ \ \$

là nhân Dirichlet thứ ${N}$ .

Như ta đã nhận xét tích chập với phân bố Dirac ${\delta_0}$ là toán tử đơn vị ${\delta_0*f=f}$ . Vì thế câu hỏi vè sự hội tụ của chuỗi Fourier có thể qui về sự hội tụ của nhân Dirichlet ${D_N}$ về phân bố Dirac ${\delta_0}$ khi $N\to\infty$ . Như ta sẽ thấy ở bài tiếp sau, nhân Dirichlet không hội tụ về ${\delta_0}$ , chính vì thế chuỗi Fourier đôi khi hội tụ, đôi khi không. Tuy thế, việc phát biểu lại bài toán dưới dạng hội tụ của nhân về phân bố Dirac cho ta một cái nhìn hoàn toàn mới về tính hội tụ của chuỗi Fourier.

Written by Ngo Bao Chau

02/02/2012 lúc 01:42

Posted in Toán

Tagged with Fourier

5 bình luận

Subscribe to comments with RSS.

Hix…Nhìn cái này, chậc, em thấy thông cảm với những người bạn của em khi họ nói : nhìn nốt nhạc giống như mấy cái giá đỗ quá ka ka 😀

Titi

02/02/2012 at 05:14

Trả lời
I like your post but I can not understand it, so sorry you for it. Nice to see you today!

vietiep

02/02/2012 at 11:36

Trả lời
Cái “Chuỗi Fourier” này mà thày Quechoa đăng lên, có khi lại hóa vui bạn bè.

hmhoang

02/02/2012 at 16:33

Trả lời
Ấn “like” một cái, cho người sợ, cho mình đỡ sợ, 😉

hmhoang

02/02/2012 at 16:35

Trả lời
Đọc bài này để biết một trong những ứng dụng của biến đổi Fourier: How Math Unraveled the ‘Hard Day’s Night’ Mystery.

damtson

04/02/2012 at 18:58

Trả lời

H	B	T	N	S	B	C
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29

Thích Học Toán