Chuỗi Fourier (4)

Bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại đi chứng minh hội tụ theo kiểu Cesaro trong khi cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Tôi nói với bạn rằng con đường của khoa học là như thế. Khi chưa đi đến điểm bạn muốn đến, cái bạn phải làm là thiết lập những điểm tựa vững chắc để khi leo lên đó bạn có thể nhìn ra bốn phương tám hướng. Khổ nhất là sau cuộc tranh luận vã mồ hôi, bạn quay lại đúng điểm nơi bạn đã xuất phát.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng ${S_N(f)}$ của chuỗi Fourier xấp xỉ ${f}$ , nhưng bạn đã chứng minh được rằng dãy các tổng Cesaro ${\sigma_N(f)}$ hội tụ đều đến ${f}$ . Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến ${f}$ và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier ${a_n}$ của hàm tuần hoàn liên tục ${f}$ hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue).

Nếu ${f}$ là hàm liên tục và tuần hoàn, bạn biết rằng cho mọi ${\epsilon>0}$ , với ${N}$ đủ lớn, ${|f(x)-\sigma_N(f)(x)|<\epsilon}$ với mọi ${x}$ . Hệ số Fourier thứ ${n}$ của ${f(x)-\sigma_N(f)(x)}$ có trị tuyệt đối

$\displaystyle |\int_0^1 (f(x)-\sigma_N(f)(x)) e^{-2\pi i nx } dx| < \epsilon.$

Nếu ${|n|>N}$ , hệ số Fourier thứ ${n}$ của ${\sigma_N(f)}$ bằng không cho nên vế trái của bất đẳng thức trên chỉ đơn giản là ${|a_n|}$ . Vì thế, dãy ${a_n}$ tiến về ${0}$ khi ${n\rightarrow \infty}$ .

Không “làm gì” thì ta cũng biết dãy các hệ số Fourier ${a_n}$ của một hàm tuần hoàn và liên tục là bị chặn. Có “làm gì”, ta biết thêm dãy này hội tụ về không.

Hàm ${f}$ càng trơn, thì dãy các hệ số Fourier của nó hội tụ càng nhanh. Nếu ${f}$ thuộc vào lớp ${C^1}$ tức là ${f}$ khả vi với vi phân là một hàm liên tục, sử dụng tích phân từng phần như trong Fourier (1), bạn biết ${a_n=O(n^{-1})}$ . Sử dụng thêm Riemann-Lebesgue như ở trên, bạn biết thêm ${a_n = o(n^{-1})}$ . Tương tự như vậy, nếu ${f}$ thuộc vào lớp ${C^2}$ , bạn biết ${a_n=o(n^{-2})}$ …

Bạn vẫn chưa hiểu cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Nhưng trên đường đi, bạn hiểu thêm vài điều thú vị như ở đây là tính hội tụ của các hệ số Fourier.

Written by Ngo Bao Chau

12/02/2012 lúc 20:57

Posted in Toán

Tagged with Fourier, Lebesgue, Riemann

7 bình luận

Subscribe to comments with RSS.

Những đánh giá này có cách nào làm mạnh lên được không? Ví dụ như hàm bình phương trong bài 1, hàm này chỉ thuộc $C^0$ , thế mà $a_n$ đã giảm như $1/n^2$ . Có chứng minh được hàm thuộc $C^k$ thì $a_n=o(n^{k+1})$ không?

damtson

14/02/2012 at 03:28

Trả lời
- Để có $a_n=O(n^{-2})$ không nhất thiết $f$ phải $C^2$ . Có thể làm yếu giả thiết đi để chứa ví dụ hàm bình phương nhưng phát biểu sẽ hơi lằng nhằng.
  
  thichhoctoan
  
  14/02/2012 at 05:13
  
  Trả lời
  - Em xin lỗi vì hỏi hơi lạc đề. Bọn anh làm thế nào gõ được công thức trong comment thế ạ?
    
    Mèo
    
    15/02/2012 at 08:50
  - http://en.support.wordpress.com/latex/
    
    damtson
    
    15/02/2012 at 23:49
Vậy hóa ra GS.C cũng có lúc …đãng chí nha.
Bằng chứng là đây: “…Giáo sư Châu bảo: Văn ngồi đợi anh đun nước pha trà hai anh em mình uống. Đợi nước sôi, hai anh em ra ban công hút thuốc, hút mãi chả thấy nước sôi.

Hóa ra giáo sư quên cắm điện cho cái ấm.

Để tình yêu nồng thắm, nhất là trong ngày Lễ tình nhân, đề nghị các bạn đừng quên cắm điện cho nhau. Cắm cật lực. Cắm nhiều lần. Cắm cho sôi sùng sục, đến cạn nước, thì càng tốt.

Happy Valentines’ Day!

PS: Đừng cắm nhầm! Giật chết!”
Cọp pi từ 5xublog 🙂

NguyenVanVu91

15/02/2012 at 05:52

Trả lời
Em xin cam on anh Chau.
Thuc ra cac nguyen ly ve hoi tu cua chuoi co ung dung rat quan quan trong trong cac econometrics models, dac biet la phan tich lien quan den time series, approximation.

Trắng Răng

16/02/2012 at 08:00

Trả lời
anh cho em hoi hoi ngoc ti ”tai sao ham chan thi An=Ak=0

Đặng Hòa

19/06/2016 at 07:50

Trả lời