Thích Học Toán

Archive for the ‘Toán’ Category

Kiến bò đi đâu – Nhặt từ blog cũ

with 42 comments

picture-23

Bác Vũ Hà Văn có ra câu đố này, treo bên trang Khoa học máy đếm. Chép lại để các bạn thử cho vui.

Có 10 con kiến trên một que 1 mét. Từng con kiến bắt đầu bò sang trái hoặc phải tùy hỉ, dọc theo que, với tốc độ 1 mét/giờ. Khi hai con kiến đụng đầu nhau chúng sẽ đổi hướng. Khi một con bò đến đầu que thì nó rới xuống đất. Hỏi: khi nào thì tất cả kiến rơi xuống đất?

Tranh minh họa của Escher vẽ kiến không ăn nhập lắm với nội dung bài toán. Trong bài toán, phạm vi hoạt động của các con kiến là một đa tạp một chiều rất tầm thường. Trong hình vẽ, chúng sinh sống trên lá của Mobius. Đây là ví dụ đơn giản nhất của một đa tạp hai chiều không định hướng đươc. Vì không định hướng được, nên các chú kiến của chúng ta cứ bò lổm ngổm mà không biết đâu là trước là sau, đâu là phải là trái. Thôi thì cứ lổm ngổm như vậy còn hơn là rơi tòm vào lỗ đen.

Còn đây là lời giải cho câu đố của bác Văn.

Bác Văn cấp cho mỗi con kiến một cái mũ đánh số từ 1 đến mười. Khi hai con kiến đụng độ nhau, thay vì đổi hướng, hai con kiến sẽ đổi mũ cho nhau. Trong bài toán mới này, hiển nhiên sau một giờ, cả mười con Kiến đều rơi vào mồm bác Văn đã há sẵn. Nếu có đo đạc trước, bác Văn còn có thể há mồm đúng lúc chúng rụng, khỏi bị bệnh há miệng mắc quai. Bài toán này dễ hơn bài cũ vì kiến chỉ đổi mũ, không đổi hướng. Để tìm lại bài cũ, ta chỉ cần xác định hoán vị đổi mũ. Hoán vị này còn được phân tích thành tích của các chuyển vị (transposition) tương ứng với các vụ đụng độ. Độ dài tối đa của một hoán vị là n(n-1)/2 trong trường hợp có n con kiến. Nhưng trong bài toán này, vì có một số kiến đi sang phải, một số đi sang trái, trong mỗi nhóm không chuyển vị với nhau, nên số lần đụng độ tối đa sẽ là n^2/4 nếu số kiến n là chẵn, và (n^2-1)/4 nếu n lẻ. Bác Văn thì không quan tâm lắm đến hoán vị, miễn là cả đàn kiến chui vào mồm là được.

Written by Ngo Bao Chau

06/05/2013 at 19:38

Posted in Toán

Nhìn lại một năm

with 2 comments

Bài của GS. Hồ Tú Bảo đã đăng trên Tia Sáng.
*****

Một năm là quãng thời gian ngắn ngủi đối với một viện nghiên cứu, nhưng có thể nói một năm, và nhất là sáu tháng qua, Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán (VIASM) đã lặng lẽ hoạt động cho các mục tiêu và kế hoạch của mình, với sự tham gia và ủng hộ của đông đảo người Việt làm toán trong và ngoài nước, và nhiều nhà toán học xuất sắc trên thế giới.

Tuy đã bắt đầu hoạt động từ tháng 6 năm ngoái với các bài giảng của giáo sư Ngô Bảo Châu, các hoạt động chính của VIASM mới thực sự bắt đầu từ tháng 2 năm nay (2012), khi “nhóm tối ưu miền Nam” do giáo sư Phan Quốc Khánh của Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh chủ trì tới làm việc bốn tháng ở Viện (“Hình thức hoạt động chính của Viện là tổ chức các nhóm chuyên môn, tập hợp các nhà khoa học trong cùng một lĩnh vực đến làm việc ngắn hạn ở Viện.”, http://viasm.edu.vn/?page_id=36).

VIASM chủ trương tiến hành các hoạt động khoa học ngay khi ban giám đốc được bổ nhiệm và khi thuê được trụ sở tạm thời tại thư viện Tạ Quang Bửu của Đại học Bách khoa Hà Nội, cùng lúc với việc lập ban tư vấn quốc tế, hội đồng khoa học và văn phòng phục vụ cho các hoạt động của Viện. Các quy định về cách thức hoạt động, tiêu chí tuyển nghiên cứu viên và nhóm nghiên cứu, xét chọn các đề tài và nhóm nghiên cứu cho năm 2012 và 2013, tôn tạo 10 phòng làm việc khang trang cho các nghiên cứu viên, làm trang web của Viện… cũng được tiến hành trong thời gian này.

Điều dễ nhận thấy là sự minh bạch trong các hoạt động của Viện, với mọi thông tin như đề tài, nhân sự và kinh phí được nêu một cách rõ ràng trên trang web của Viện bằng tiếng Việt và tiếng Anh (http://viasm.edu.vn).

Một điều vẫn đáng bàn là tại sao lại nên có VIASM ở Việt Nam, điều mà nhiều người kể cả nhiều nhà khoa học vẫn còn băn khoăn. Một lý do là khi nhìn các nhà toán học làm việc ta thường chỉ thấy họ dùng giấy và bút hay bảng và phấn, nhưng ít thấy là họ cần và phải trao đổi rất nhiều với đồng nghiệp để hiểu các vấn đề phức tạp và hình thành các ý tưởng, và rồi cặm cụi tìm cách chứng minh chúng. Chính vì vậy nhiệm vụ chính của VIASM là cung cấp cơ hội để những người làm toán trong cùng một lĩnh vực đến đây (ít nhất là hai tháng) cùng trao đổi về những bài toán của mình.

Một lý do cơ bản khác là trong mấy trăm trường đại học và cao đẳng trên cả nước có hàng nghìn người dạy toán và nếu trong số này không có một vài trăm người làm nghiên cứu thì dễ có lúc các thầy cô dạy toán đại học của ta choáng ngợp về sự phát triển của toán học trên thế giới và có thể bị “cóng” mà không dạy nổi nữa. Để một vài trăm người này làm nghiên cứu theo được trình độ quốc tế, họ cần được hỗ trợ, như có những quãng thời gian đến làm việc ở VIASM với các chuyên gia. Những người làm toán hiểu sâu sắc rằng mục tiêu phát triển toán học của ta không phải vì một vị trí xếp hạng nào đó trên thế giới, mà để nâng chất lượng nghiên cứu và ứng dụng toán học, góp phần của toán học vào nền khoa học và công nghệ còn non yếu của ta, thậm chí để nuôi dưỡng và giữ được lực lượng nghiên cứu toán học của ta trong những năm tới.

Để được chọn đến VIASM làm việc, những người làm toán phải tập hợp được thành các nhóm với các đề tài có giá trị. Hai yêu cầu cơ bản là mỗi nhóm phải có một người chủ trì có uy tín về chuyên môn và phải mời được một vài chuyên gia loại hàng đầu thế giới cùng chuyên ngành đến làm việc ở VIASM với mình trong thời gian tối thiểu là hai tuần. Việc mời được các chuyên gia uy tín phụ thuộc vào quan hệ quốc tế của người chủ trì nhóm, và phụ thuộc rất nhiều vào uy tín của giám đốc khoa học của Viện (ở châu Á, giáo sư Ngô Bảo Châu là người thứ tư được giải Fields, sau ba nhà toán học người Nhật). Có thể hiểu việc có các chuyên gia uy tín quốc tế thường xuyên đến làm việc cộng với điều kiện làm việc tốt, phù hợp với ngành toán của VIASM là nghĩa chính của hai chữ “cao cấp” trong tên gọi Viện Nghiên cứu Cao cấp về Toán.

Cách hoạt động hỗ trợ các nhà toán học đúng với đặc trưng ngành toán như ở VIASM đã phổ biến trên thế giới lâu nay, không chỉ ở các nước có nền toán học rực rỡ như Mỹ, Pháp, Nhật.. mà còn ở nhiều nước quanh ta như Ấn Độ, Hàn Quốc, Pakistan, Malaysia… Tuy nhiên, có những điều kiện cần để một viện như vậy có thể hiệu quả, như một người phụ trách có uy tín quốc tế cao.

Nhiều người có thể sẽ ngạc nhiên khi biết kinh phí dành cho VIASM không nhiều như có lúc đã thấy trên báo chí (thực ra 651 tỷ đồng là kinh phí cho ngành toán cả nước trong quãng thời gian 2010-2020). Trang web của VIASM cho biết Viện được cấp 4,4 tỷ VNĐ cho năm 2011 và 15 tỷ VNĐ cho năm 2012 (http://viasm.edu.vn/?page_id=3801). Kinh phí của VIASM năm 2012 như vậy là quãng 0,75 triệu USD, một con số thật khiêm tốn nếu so sánh với kinh phí 20 triệu USD hằng năm của Viện Toán cao cấp của Hàn Quốc, hoặc gấp quãng 8 lần kinh phí trung bình hàng năm của một giáo sư tại viện Viện Khoa học và Công nghệ Tiên tiến Nhật Bản (JAIST) ở Nhật.

Việc tuyển chọn các đề tài đến làm việc tại VIASM được hội đồng khoa học tiến hành nghiêm túc. Mỗi hồ sơ đề tài đều được đọc và thảo luận bởi toàn bộ 14 thành viên hội đồng sau khi nghe nhận xét chi tiết của ít nhất hai thành viên có chuyên môn gần với đề tài, và quyết định bởi giám đốc khoa học của Viện. Trong bốn tháng vừa qua, VIASM đã đem nhiều người làm toán trên cả nước, từ Cần Thơ, thành phố Hồ Chí Minh, Đà Lạt, Quy Nhơn, Huế… và Hà Nội tới làm việc ở Viện.

Điều đáng nói là VIASM đã và đang là cầu nối và nơi đến của rất nhiều người Việt đang làm toán ở nước ngoài. Có VIASM những người làm toán này có thêm nơi để trở về góp sức với anh em làm toán trong nước. Họ về để chia sẻ với các đồng nghiệp trong nước những gì họ biết và đang làm. Riêng tại hội nghị toán học Việt-Pháp vào cuối tháng 8 năm nay ở Huế do Hội Toán học Việt Nam và Hội Toán học Pháp tổ chức với sự tham gia tích cực của VIASM, đã có hơn 50 nhà toán học người Việt ở nước ngoài đăng ký tham gia.

Cũng rất đáng nói là VIASM là nơi để nhiều nhà toán học lừng danh thế giới đến giúp đỡ các đồng nghiệp Việt Nam. Căn hộ công vụ nhà nước cấp cho giáo sư Ngô Bảo Châu được dùng làm chỗ ở cho các giáo sư nước ngoài đến làm việc ở VIASM, khi anh không ở Việt Nam. Nhiều người trong số họ, như giáo sư Thomas Hales từ Đại học Pittsburgh, có sở thích hằng ngày đi bộ từ tòa nhà có căn hộ này đến VIASM, đi trong cái nắng nóng và ồn ào xe cộ của Hà Nội.

Khuyến khích toán học ứng dụng

Điều cuối cùng tôi muốn nói là trong khi phần lớn các đề tài của VIASM là về các nội dung của toán học lý thuyết, thì ban giám đốc và hội đồng khoa học của VIASM cũng rất khuyến khích và ủng hộ các đề tài về toán học ứng dụng và toán học trong các khoa học khác. Riêng năm 2012 VIASM đã nhận hai đề tài về toán học trong khoa học máy tính (công nghệ thông tin). Một về các thuật toán tiến hoá để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu, và một về các phương pháp thống kê hiện đại trong học máy.

Đề tài “Các phương pháp thống kê hiện đại trong học máy” tại VIASM là một đề tài chuyên biệt, gồm hoạt động nghiên cứu của một nhóm mười người cùng các bài giảng cho đông đảo người quan tâm về lĩnh vực này. Học máy (machine learning), còn gọi học tự động nhằm làm cho máy có một số khả năng học tập của con người là một trong những lĩnh vực phát triển sôi động của khoa học máy tính trong vòng hai chục năm vừa qua. Chính Bill Gates cũng cho là “mỗi đột phá trong ngành học máy có thể đáng giá mười Microsoft” (“a breakthrough in machine learning would be worth ten Microsofts”).

Bản chất của học máy là việc làm cho máy tính tự động phân tích được các tập dữ liệu lớn và phức tạp thu được từ mô tả và quan sát các hiện thực trong tự nhiên và xã hội giúp con người hiểu và dùng chúng. Ứng dụng của học máy có ở bất kỳ nơi đâu có những tập dữ liệu cần khai thác, như phân tích rủi ro trong hoạt động tài chính; dự đoán bệnh tật và hiệu quả của các loại thuốc; tìm kiếm thông tin trên web như ta vẫn dùng Google; tự động biết về nhu cầu và sở thích của khách hàng trong kinh doanh; dịch một văn bản từ tiếng Anh sang tiếng Việt…

Đáng kể là trong vòng hơn một thập kỷ vừa qua, có một sự phát triển mạnh mẽ nhằm tạo ra và đưa các phương pháp toán học vào học máy tiêu biểu là các phương pháp đại số, đồ thị, tối ưu, giải tích hàm và xác suất thống kê để giải các bài toán khó của lĩnh vực này. Học máy là một ví dụ tiêu biểu cho thấy toán học có vai trò quyết định trong một khoa học khác, và những lý thuyết toán học hiện đại đang được dùng vào những ứng dụng rất thiết thực.

Các phương pháp học máy thống kê đã và đang thay đổi sâu sắc ngành học máy trong hơn một thập kỷ qua với những kết quả kỳ diệu. Tuy nhiên, sự phát triển quá nhanh và phong phú này đã làm một bộ phận lớn của cộng đồng nghiên cứu học máy trên thế giới bị tụt lại, và có lẽ cũng làm cho rất nhiều người làm nghiên cứu và ứng dụng học máy ở Việt Nam không theo kịp.

Đề tài học máy thống kê tại VIASM từ giữa tháng 6 đến giữa tháng 8 năm nay do một số giáo sư người Việt đang nghiên cứu trong lĩnh vực này tại Nhật, Mỹ, Úc chủ trì với sự tham gia của giáo sư John Lafferty từ Đại học Chicago, một chuyên gia học máy hàng đầu thế giới. Các lớp học của đề tài đã thu hút hơn 120 thầy cô giáo, cán bộ một số bộ ngành, công ty, nghiên cứu sinh và sinh viên trên cả nước đăng ký tham gia (http://viasm.edu.vn).

Năm hoạt động đầu tiên này cho phép ta hy vọng và tin rằng VIASM sẽ đạt được những mục tiêu của mình trong những năm tiếp theo.

Written by Ngo Bao Chau

05/07/2012 at 14:58

Posted in Bạn bè viết, Toán

GS Bảo học máy

with 5 comments

Đến Viện nghiên cứu cao cấp về toán dự Chương trình chuyên biệt “Các phương pháp thống kê hiện đại trong học máy”, bạn sẽ tìm được câu trả lời cho câu hỏi: GS Bảo học máy hay là máy học GS Bảo.
Để theo dõi diễn biến của câu chuyện mang đầy tính thời sự này, mời bạn xem tiếp ở đây và ở đây.

Written by Ngo Bao Chau

19/06/2012 at 05:25

Posted in Toán

Học hè

with 42 comments

Trong tháng bảy và tháng tám, tôi sẽ tổ chức một lớp học về lý thuyết số ở VIASM. Các học viên sẽ tự đọc tài liệu, tự trình bày rồi cả lớp sẽ cùng thảo luận. Lớp học sẽ bắt đầu từ những bài toán với phát biểu tương đối sơ cấp trong số học và tìm hiểu phương pháp giải tích để giải quyết những bài toán đó. Tài liệu tham khảo là cuốn sách Introduction to analytic number theory của Chandrasekharan. Đối tượng của lớp học là sinh viên khoa toán những năm cuối.

Cũng về số học, ở VIASM sẽ có sinh hoạt chuyên đề về công trình gần đây của Bhargava về hạng trung bình của đường cong elliptic. Tuy phương pháp của Bhargava tương đối sơ cấp, seminar chắc chắn sẽ khó theo hơn lớp học.

Bạn cần đăng ký bằng cách gửi email về địa chỉ hoche.viasm at gmail.com. Các bạn ở tỉnh xa có thể đề nghị VIASM hỗ trợ kinh phí đi lại ăn ở. Trong thư, ngoài tên tuổi, địa chỉ, trường học, bạn sẽ trả lời ba câu hỏi :

1) Học hè : Y/N.  2) Seminar : Y/N. 3) Hỗ trợ : Y/N

gửi kèm bảng điểm và thư giới thiệu của giáo viên. Vì kinh phí chung cũng như sức chứa của phòng học đều hạn chế, không phải tất cả những người đăng ký đều sẽ được nhận đến học (hoặc được hỗ trợ kinh phí).

Hạn cuối cùng để đăng ký là 15/5. Tôi sẽ lên danh sách lớp trước ngày 20/5.

Sau khi lên danh sách lớp, tôi sẽ gửi tài liệu và phân bài cho các bạn cùng đọc.

(Thông báo này tạm đăng ở đây trong khi chờ trang mạng mới của VIASM đi vào hoạt động)

Written by Ngo Bao Chau

28/04/2012 at 01:05

Posted in Toán

Chuỗi Fourier (5)

leave a comment »

Bạn đã nóng ruột muốn biết khi nào thì chuỗi Fourier hội tụ. Bây giờ là lúc tôi có thể phát biểu một chỉ tiêu đơn giản cho sự hội tụ : chỉ tiêu này là một điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Cho {f} là một hàm tuần hoàn liên tục có đạo hàm tại một điểm {x_0}. Khi đó chuỗi Fourier sẽ hội tụ tại điểm {x_0}.

Bạn có thể giả thiết {x_0=0}{f(0)=0}. Bạn cũng có thể coi {f} như một hàm liên tục trên đoạn {[-1/2,1/2]} thỏa mãn {f(-1/2)=f(1/2)} và có đạo hàm tại điểm {0}. Cái bạn cần chứng minh là tích phân

\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} f(x)D_N (-x) dx = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) {\sin(-(2N+1) \pi x) \over \sin (-\pi x )} dx

tiến về {0} khi {N} tiến ra {\infty}.

Cái khó chịu trong tích phân trên là mẫu số {\sin (-\pi x )}. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

21/02/2012 at 04:43

Posted in Toán

Tagged with

Chuỗi Fourier (4)

with 7 comments

Bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại đi chứng minh hội tụ theo kiểu Cesaro trong khi cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Tôi nói với bạn rằng con đường của khoa học là như thế. Khi chưa đi đến điểm bạn muốn đến, cái bạn phải làm là thiết lập những điểm tựa vững chắc để khi leo lên đó bạn có thể nhìn ra bốn phương tám hướng. Khổ nhất là sau cuộc tranh luận vã mồ hôi, bạn quay lại đúng điểm nơi bạn đã xuất phát.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng {S_N(f)} của chuỗi Fourier xấp xỉ {f}, nhưng bạn đã chứng minh được rằng dãy các tổng Cesaro {\sigma_N(f)} hội tụ đều đến {f}. Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến {f} và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier {a_n} của hàm tuần hoàn liên tục {f} hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue). Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

12/02/2012 at 20:57

Posted in Toán

Tagged with , ,

Chuỗi Fourier (3)

with 3 comments

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} bao gồm các hàm liên tục trên {[0,1]} được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

  1. với mọi {n}, {\int_{0}^1 K_n(x) dx=1},
  2. tồn tại {M>0} sao cho với mọi {n} ta có {\int_0^1 |K_n(x)| \leq M},
  3. với mọi {\delta>0}, ta có {\int_\delta^{1-\delta} K_n(x) dx \rightarrow 0} khi {n\rightarrow \infty}.

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy {K_n * f} hội tụ về {f}. Cho một họ {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} xấp xỉ đơn vị và {f} là một hàm khả tích trên {[0,1]}. Khi đó

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (f*K_n)(x)=f(x)

mỗi khi hàm {f} liên tục tại {x}. Hơn nữa, nếu {f} liên tục khắp nơi thì {K_n * f} hội tụ đều về {f}.

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

\displaystyle D_N(x)={\sin(2N+1)\pi x \over \sin (\pi x)}

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy \displaystyle \int_0^1 |D_N(x)| dx \geq c\log(N). Vì thế tính liên tục của f không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

06/02/2012 at 15:30

Posted in Toán

Tagged with , ,

Chuỗi Fourier (2)

with 5 comments

Trong bài thứ hai, ta đặt câu hỏi hơi siêu hình về “ý nghĩa” của chuỗi Fourier. Câu trả lời là khai triển hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phân tích phổ.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact {\mathbb R/\mathbb Z}. Với mỗi {y\in [0,1]}, xê dịch một khoảng {y} cho bạn một toán tử {\tau_y} trên không gian các hàm {f} trên {\mathbb R/\mathbb Z}

\displaystyle (\tau_y f)(x)= f(x-y).

Các toán tử {\tau_x} lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm {e^{2 i \pi nx}} chính là các vec tơ riêng

\displaystyle \tau_y e^{2i \pi nx}= e^{2 i \pi n(x-y)}= e^{-2 i \pi ny} e^{2 i \pi nx}.

Khai triển thành chuỗi Fourier

\displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^\infty a_n e^{2 i \pi nx}

có thể xem như cách biểu diễn {f} thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm {f} là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử {\tau_x}. Mỗi hàm khả tích {\phi} trên {[0,1]} tác động lên {f} bằng công thức “tích chập”

\displaystyle (\phi* f)(x)=\int_0^1 \phi(y) f(x-y) dy.

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử {\tau_y} với trọng cho bởi {\phi(y)}. Theo một nghĩa nào đó, nếu thay {\phi} bằng phân bố Dirac {\delta_y} thì ta tìm lại được toán tử {\tau_y}. Các hàm {e^{2 i \pi nx}} tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

02/02/2012 at 01:42

Posted in Toán

Tagged with

Chuỗi Fourier (1)

with 7 comments

Sau đây là một chuỗi bài về chuỗi Fourier, chủ yếu lược dịch từ quyển sách của E. Stein “Fourier Analysis”.

Cho {f} là một hàm khả tích trên đoạn {[0,1]} thỏa mãn {f(0)=f(1)}. Ta có thể xem nó như là một hàm tuần hoàn hay là một hàm trên nhóm compact {{\mathbb R}/{\mathbb Z}}. Chuỗi Fourier của {f} là chuỗi hình thức

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx}

với hệ số thứ {n}

\displaystyle a_n=\hat f(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 i \pi nx} dx.

Với mỗi số tự nhiên {N}, ta xét tổng riêng thứ {N}

\displaystyle S_N(f)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{2 i \pi nx}.

Câu hỏi cơ bản của lý thuyết các chuỗi Fourier là khi nào thì {S_N(f)} hội tụ đến {f}? Tất nhiên là có nhiều cách hội tụ khác nhau, nhưng ở đây ta quan tâm trước hết đến hội tụ điểm : với điều kiện nào thì dãy số {S_N(f)(x)} hội tụ đến {f(x)} với {x\in [0,1]} đã cho. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

30/01/2012 at 22:26

Posted in Toán

Tagged with ,

Hai chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton

with 9 comments

Đây là một định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây, bạn sẽ học hai chứng minh khác nhau cuả nó. Có lẽ cái thú vị nhất không phải là việc củng cố niềm tin vào Cayley và Hamilton mà là hai chứng minh này sẽ dẫn dắt bạn đi đến suy tưởng về những chuyện nằm ngoài phạm vi tuyến tính.

Phát biểu định lý Cayley-Hamilton : Đa thức đặc trưng a(t) của ma trận vuông x bậc n là định thức của ma trận t{\rm id}_n - x. Đây là một đa thức biến t có bậc bằng n

a= t^n -a_1 t^{n-1}+\cdots + (-1)^n a_n

với a_1=tr(x), a_2= tr(\wedge^2 x), … Ký hiệu đã được chọn một cách gọn nhẹ, nhưng cũng có thể gây hiểu lầm. Ở đây, a là một đa thức có biến t với hệ số phụ thuộc vào  x.

Với định nghĩa như trên, ta có a(x)=0 với a(x) là ma trận có được khi ta thế x vào biến t.

Thực ra, khẳng định trên đủ phổ dụng để ta không cần phải qui định trước xem x là ma trận có hệ số như thế nào. Tuy nhiên để dễ hình dung bạn sẽ gỉả sử rằng x là ma trận với hệ số trong một trường k, chẳng hạn như trường các số phức, mặc dù định lý đúng nếu x là một ma trận với hệ số trong một vành giao hoán bất kỳ.

Chứng minh thứ nhất : Cho V là một không gian vec tơ n chiều trên trường k với e_1,\ldots,e_n là cơ sở. Cho M là mo đun tự do hạng n trên vành đa thức cũng với cơ sở là e_1,\ldots,e_n.  Bạn có V\subset M như không gian vec tơ con trên k chứ không phải như k[t]-mo đun vì bản thân V chưa được trang bị cấu trúc k[t]-mo đun. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

17/11/2011 at 04:07

Posted in Toán

Tagged with , , ,