Thích Học Toán

Archive for the ‘Toán’ Category

Định thức, kết thức và biệt thức

leave a comment »

Chép lại từ blog cũ.

Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai a x^2+b x+c=0 nằm ở cái biệt thức \Delta=b^2-4ac. Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.

Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính f:V \to V từ một k-không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng \det(f) \in V thỏa mãn tính chất \det(fg)=\det(f)\det(g)\det(f)\not= 0 khi và chỉ khi f khả nghịch.

Kết thức (resultant) cuả hai đa thức p,q \in k[t] là một số r \in k. Giả sử \alpha_1,\ldots,\alpha_m\beta_1,\ldots,\beta_n là các nghiệm có thể có lặp của pq trong một đóng đại số \bar k của k, ở đây m,n là bậc của p,q. Khi đó r=\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n (\alpha_i-\beta_j) \in \bar k bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của k. Như vậy r\not =0 khi và chỉ khi p,q nguyên tố cùng nhau. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

17/11/2011 at 03:44

Posted in Toán

Tagged with ,

Tăng xờ toàn tập

with 5 comments

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho V,V' là hai không gian vec-tơ trên một trường k. Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian V\otimes_k V' các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một k-không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp V\times V'=\{(v,v')|v\in V,v'\in V'\}. Ta ký hiệu nó là k^{V\times V'}. Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng \alpha_1 (v_1,v'_1)+\cdots+\alpha_n (v_n,v'_n) với các vô hướng \alpha_i\in k. Sau đó, ta xét không gian con W của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng (v,v'_1+v'_2)-(v,v'_1)-(v,v'_2), (v,\alpha v')-\alpha (v,v') và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí vv'. Ta đặt V\otimes_k V' là không gian vec-tơ thương của k^{V\times V'} chia cho không gian con W.

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ (v,v') trong V\otimes V'v\otimes v'. Các vec-tơ v\otimes v' lập thành một hệ sinh của V\otimes V' nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của W trong V\otimes V' bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính  v\otimes(v'_1+v'_2)-v\otimes v'_1-v \otimes v'_2=0v\otimes (\alpha v') -\alpha (v\otimes v')=0 và các quan hệ tương tự khi vv' trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng V\otimes V' với các vec-tơ v\otimes v' làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

15/11/2011 at 02:35

Posted in Toán

Tagged with , ,

Vị trí tương đối

with 4 comments

Đọc lại bài Quay quanh mặt trời viết từ một năm trước, so với mấy truyện buồn buồn sến sến viết gần đây, phát hiện ra rằng các nơ ron trào lộng trong sọ mình có vẻ bị tắt hết từ lúc nào. Khi ta không còn thấy thích đùa, là lúc ta bắt đầu già. Nghĩ mà thấy ghen tị với bạn Cụ Hinh và bạn 5xu. Hai bạn này trông bên ngoài thì nhăn nheo hơn mình, nhưng trong lòng vẫn là cả một khối thanh xuân phơi phới. Không biết các bạn ấy ăn gì mà tốt cây thế, hehe.

Nói nhảm chỉ để thông báo rằng những bài sắp xuất hiện trong mục Toán sẽ khô như ngói, và chỉ phục vụ các bạn đang làm toán hoặc đang học toán. Các bạn không thuộc hai phạm trù này thì dừng đọc ở đây nhé.

****

Nếu H,K là hai nhóm con của một nhóm G, thì có một tương ứng 1-1 giữa tập các lớp kề đúp H\backslash G/K và tập các quĩ đạo của nhóm G tác động đồng thời lên G/H \times G/K. Đây là một mệnh đề tổng quát và khá tầm thường mà bạn có thể tìm thấy trong bất kỳ quyển sách nào về lý thuyết nhóm đại cương. Theo một nghĩa nào đó, vế trái có ưu điểm tiết kiệm ngôn ngữ vì nhóm G chỉ dùng một lần ; tuy thế nó hơi thiếu tính trực quan vì thật ra rất khó hình dung cụ thể một lớp kề đúp là cái gì. Vế phải thì ngược lại. Phần tử của các không gian thuần nhất G/HG/K thường tương ứng với những đối tượng mang ý nghĩa hình học. Quĩ đạo theo tác động đồng thời của G lên G/H\times G/K tương ứng với vị trí tương đối giữa hai đối tượng đó. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

09/11/2011 at 14:46

Posted in Toán

Tagged with ,

Quay quanh mặt trời

with 11 comments

Nhặt lại từ blog cũ.
Ai cũng đã từng thắc mắc, tại sao vạn vật thì hấp dẫn nhau mà hành tinh của chúng ta vẫn nhởn nhơ quay quanh chứ không bị hút tịt vào mặt trời.

Cụ Nhiêu Tân nghĩ mãi mới ra. Cụ còn nhân thể nghĩ ra cái gọi calculus. May có cụ, không thì toàn thể các nhà toán học Mỹ sẽ đói nặng, không biết dạy cái gì. Bạn không biết chứ calculus thực ra là cần câu lươn. Nhưng vì có máu nghệ sĩ, cụ đã viết toàn bộ quyển principia với ngôn ngữ thuần túy hình học phẳng, tuyệt nhiên không trộn tí calculus nào.

Chẳng hạn cụ vẽ cái quạt như ở trên. Trục quạt O là mặt trời. Các điểm A, B, C … mô tả quĩ đạo của hành tinh quay quanh mặt trời. Nhận xét của cụ Nhiêu Tân là diện tích quét của nan quạt OA trong một đơn vị thời gian là không đổi. Vì diện tích này là không đổi, hành tinh kia khó mà tiến quá gần vào với mặt trời.

Cụ lý luận như thế này : trong một tích tắc, hành tinh nhỏ bé chuyển động từ A đến B. Nếu không có lực hấp dẫn của mặt trời, nó sẽ tiếp tục chuyển động thẳng đều để đến điểm c nhỏ vào tích tắc tiếp theo. Ở đây B là trung điểm của đoạn Ac cho nên hai tam giác OAB và OBc có diện tích bằng nhau.

Tuy nhiên, vì lực hấp dẫn của mặt trời, trong thực tế, hành tinh nhỏ bé không di chuyển tới c nhỏ, mà lại di chuyển tới điển điểm C to. Vec tơ cC thể hiện ảnh hưởng của lực hấp dẫn của mặt trời vào thời điểm mà hành tinh còn ở điểm B, cho nên nó song song với OB. Vì vậy diện tích của hai tam giác OBc và OBC là bằng nhau. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

06/11/2011 at 13:38