Biệt thức | Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Biệt thức’

Hai chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton

Đây là một định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây, bạn sẽ học hai chứng minh khác nhau cuả nó. Có lẽ cái thú vị nhất không phải là việc củng cố niềm tin vào Cayley và Hamilton mà là hai chứng minh này sẽ dẫn dắt bạn đi đến suy tưởng về những chuyện nằm ngoài phạm vi tuyến tính.

Phát biểu định lý Cayley-Hamilton : Đa thức đặc trưng $a(t)$ của ma trận vuông $x$ bậc $n$ là định thức của ma trận $t{\rm id}_n - x$ . Đây là một đa thức biến $t$ có bậc bằng $n$

$a= t^n -a_1 t^{n-1}+\cdots + (-1)^n a_n$

với $a_1=tr(x)$ , $a_2= tr(\wedge^2 x)$ , … Ký hiệu đã được chọn một cách gọn nhẹ, nhưng cũng có thể gây hiểu lầm. Ở đây, $a$ là một đa thức có biến $t$ với hệ số phụ thuộc vào $x$ .

Với định nghĩa như trên, ta có $a(x)=0$ với $a(x)$ là ma trận có được khi ta thế $x$ vào biến $t$ .

Thực ra, khẳng định trên đủ phổ dụng để ta không cần phải qui định trước xem $x$ là ma trận có hệ số như thế nào. Tuy nhiên để dễ hình dung bạn sẽ gỉả sử rằng $x$ là ma trận với hệ số trong một trường $k$ , chẳng hạn như trường các số phức, mặc dù định lý đúng nếu $x$ là một ma trận với hệ số trong một vành giao hoán bất kỳ.

Chứng minh thứ nhất : Cho $V$ là một không gian vec tơ $n$ chiều trên trường $k$ với $e_1,\ldots,e_n$ là cơ sở. Cho $M$ là mo đun tự do hạng $n$ trên vành đa thức cũng với cơ sở là $e_1,\ldots,e_n$ . Bạn có $V\subset M$ như không gian vec tơ con trên $k$ chứ không phải như $k[t]$ -mo đun vì bản thân $V$ chưa được trang bị cấu trúc $k[t]$ -mo đun. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

17/11/2011 at 04:07

Posted in Toán

Tagged with Biệt thức, Cayley, Hamilton, Zariski

Định thức, kết thức và biệt thức

leave a comment »

Chép lại từ blog cũ.

Bí quyết của cách giải phương trình bậc hai $a x^2+b x+c=0$ nằm ở cái biệt thức $\Delta=b^2-4ac$ . Biệt thức bằng không khi và chỉ khi phương trình có nghiệm lặp. Trong bài này, chúng ta tìm hiểu định nghĩa biệt thức của một đa thức bậc cao. Để xây dựng biệt thức, ta phải đi qua cả định thức và kết thức. Đây là một phần của lý thuyết bất biến cổ điển nơi còn vang bóng của người anh hùng một thời Sylvester.

Định thức (determinant) đã được đề cập ở đây rồi. Chỉ xin nhắc lại là định thức của một ánh xa tuyến tính $f:V \to V$ từ một $k$ -không gian vec tơ vào chính nó, là một vô hướng $\det(f) \in V$ thỏa mãn tính chất $\det(fg)=\det(f)\det(g)$ và $\det(f)\not= 0$ khi và chỉ khi $f$ khả nghịch.

Kết thức (resultant) cuả hai đa thức $p,q \in k[t]$ là một số $r \in k$ . Giả sử $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ và $\beta_1,\ldots,\beta_n$ là các nghiệm có thể có lặp của $p$ và $q$ trong một đóng đại số $\bar k$ của $k$ , ở đây $m,n$ là bậc của $p,q$ . Khi đó $r=\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n (\alpha_i-\beta_j) \in \bar k$ bất biến dưới tác động của nhóm Galois cho nên là một phần tử của $k$ . Như vậy $r\not =0$ khi và chỉ khi $p,q$ nguyên tố cùng nhau. Đọc tiếp »