Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Fejer’

Chuỗi Fourier (3)

with 3 comments

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} bao gồm các hàm liên tục trên {[0,1]} được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

  1. với mọi {n}, {\int_{0}^1 K_n(x) dx=1},
  2. tồn tại {M>0} sao cho với mọi {n} ta có {\int_0^1 |K_n(x)| \leq M},
  3. với mọi {\delta>0}, ta có {\int_\delta^{1-\delta} K_n(x) dx \rightarrow 0} khi {n\rightarrow \infty}.

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy {K_n * f} hội tụ về {f}. Cho một họ {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} xấp xỉ đơn vị và {f} là một hàm khả tích trên {[0,1]}. Khi đó

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (f*K_n)(x)=f(x)

mỗi khi hàm {f} liên tục tại {x}. Hơn nữa, nếu {f} liên tục khắp nơi thì {K_n * f} hội tụ đều về {f}.

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

\displaystyle D_N(x)={\sin(2N+1)\pi x \over \sin (\pi x)}

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy \displaystyle \int_0^1 |D_N(x)| dx \geq c\log(N). Vì thế tính liên tục của f không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier. Đọc tiếp »

Advertisement

Written by Ngo Bao Chau

06/02/2012 at 15:30

Posted in Toán

Tagged with , ,