Fourier | Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Fourier’

Bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại đi chứng minh hội tụ theo kiểu Cesaro trong khi cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Tôi nói với bạn rằng con đường của khoa học là như thế. Khi chưa đi đến điểm bạn muốn đến, cái bạn phải làm là thiết lập những điểm tựa vững chắc để khi leo lên đó bạn có thể nhìn ra bốn phương tám hướng. Khổ nhất là sau cuộc tranh luận vã mồ hôi, bạn quay lại đúng điểm nơi bạn đã xuất phát.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng ${S_N(f)}$ của chuỗi Fourier xấp xỉ ${f}$ , nhưng bạn đã chứng minh được rằng dãy các tổng Cesaro ${\sigma_N(f)}$ hội tụ đều đến ${f}$ . Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến ${f}$ và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier ${a_n}$ của hàm tuần hoàn liên tục ${f}$ hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue). Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

12/02/2012 at 20:57

Posted in Toán

Tagged with Fourier, Lebesgue, Riemann

Chuỗi Fourier (3)

with 3 comments

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân ${[K_n(x)]_{n=1}^\infty}$ bao gồm các hàm liên tục trên ${[0,1]}$ được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

với mọi ${n}$ , ${\int_{0}^1 K_n(x) dx=1}$ ,
tồn tại ${M>0}$ sao cho với mọi ${n}$ ta có ${\int_0^1 |K_n(x)| \leq M}$ ,
với mọi ${\delta>0}$ , ta có ${\int_\delta^{1-\delta} K_n(x) dx \rightarrow 0}$ khi ${n\rightarrow \infty}$ .

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy ${K_n * f}$ hội tụ về ${f}$ . Cho một họ ${[K_n(x)]_{n=1}^\infty}$ xấp xỉ đơn vị và ${f}$ là một hàm khả tích trên ${[0,1]}$ . Khi đó

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (f*K_n)(x)=f(x)$

mỗi khi hàm ${f}$ liên tục tại ${x}$ . Hơn nữa, nếu ${f}$ liên tục khắp nơi thì ${K_n * f}$ hội tụ đều về ${f}$ .

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

$\displaystyle D_N(x)={\sin(2N+1)\pi x \over \sin (\pi x)}$

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy $\displaystyle \int_0^1 |D_N(x)| dx \geq c\log(N)$ . Vì thế tính liên tục của $f$ không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

06/02/2012 at 15:30

Posted in Toán

Tagged with Abel, Fejer, Fourier

Chuỗi Fourier (2)

with 5 comments

Trong bài thứ hai, ta đặt câu hỏi hơi siêu hình về “ý nghĩa” của chuỗi Fourier. Câu trả lời là khai triển hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phân tích phổ.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact ${\mathbb R/\mathbb Z}$ . Với mỗi ${y\in [0,1]}$ , xê dịch một khoảng ${y}$ cho bạn một toán tử ${\tau_y}$ trên không gian các hàm ${f}$ trên ${\mathbb R/\mathbb Z}$

$\displaystyle (\tau_y f)(x)= f(x-y).$

Các toán tử ${\tau_x}$ lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm ${e^{2 i \pi nx}}$ chính là các vec tơ riêng

$\displaystyle \tau_y e^{2i \pi nx}= e^{2 i \pi n(x-y)}= e^{-2 i \pi ny} e^{2 i \pi nx}.$

Khai triển thành chuỗi Fourier

$\displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^\infty a_n e^{2 i \pi nx}$

có thể xem như cách biểu diễn ${f}$ thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm ${f}$ là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử ${\tau_x}$ . Mỗi hàm khả tích ${\phi}$ trên ${[0,1]}$ tác động lên ${f}$ bằng công thức “tích chập”

$\displaystyle (\phi* f)(x)=\int_0^1 \phi(y) f(x-y) dy.$

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử ${\tau_y}$ với trọng cho bởi ${\phi(y)}$ . Theo một nghĩa nào đó, nếu thay ${\phi}$ bằng phân bố Dirac ${\delta_y}$ thì ta tìm lại được toán tử ${\tau_y}$ . Các hàm ${e^{2 i \pi nx}}$ tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

02/02/2012 at 01:42

Posted in Toán

Tagged with Fourier

Chuỗi Fourier (1)

with 7 comments

Sau đây là một chuỗi bài về chuỗi Fourier, chủ yếu lược dịch từ quyển sách của E. Stein “Fourier Analysis”.

Cho ${f}$ là một hàm khả tích trên đoạn ${[0,1]}$ thỏa mãn ${f(0)=f(1)}$ . Ta có thể xem nó như là một hàm tuần hoàn hay là một hàm trên nhóm compact ${{\mathbb R}/{\mathbb Z}}$ . Chuỗi Fourier của ${f}$ là chuỗi hình thức

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx}$

với hệ số thứ ${n}$ là

$\displaystyle a_n=\hat f(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 i \pi nx} dx.$

Với mỗi số tự nhiên ${N}$ , ta xét tổng riêng thứ ${N}$

$\displaystyle S_N(f)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{2 i \pi nx}.$

Câu hỏi cơ bản của lý thuyết các chuỗi Fourier là khi nào thì ${S_N(f)}$ hội tụ đến ${f}$ ? Tất nhiên là có nhiều cách hội tụ khác nhau, nhưng ở đây ta quan tâm trước hết đến hội tụ điểm : với điều kiện nào thì dãy số ${S_N(f)(x)}$ hội tụ đến ${f(x)}$ với ${x\in [0,1]}$ đã cho. Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

30/01/2012 at 22:26

Posted in Toán

Tagged with Euler, Fourier

H	B	T	N	S	B	C
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Fourier’

Chuỗi Fourier (5)

Chuỗi Fourier (4)

Chuỗi Fourier (3)

Chuỗi Fourier (2)

Chuỗi Fourier (1)

Trang

Links

Học Thế Nào

Bài viết mới

Chuyên mục

Meta

Nhắn

5xublog

Goldmund

Hahuykhoai

Cuhinh

Phamvuluaha

Waterpieces

Tinyhuong

Thuận

Vuhavan

Damtson

Cavenui