Hai chứng minh cho định lý Cayley-Hamilton

Đây là một định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Ở đây, bạn sẽ học hai chứng minh khác nhau cuả nó. Có lẽ cái thú vị nhất không phải là việc củng cố niềm tin vào Cayley và Hamilton mà là hai chứng minh này sẽ dẫn dắt bạn đi đến suy tưởng về những chuyện nằm ngoài phạm vi tuyến tính.

Phát biểu định lý Cayley-Hamilton : Đa thức đặc trưng của ma trận vuông bậc là định thức của ma trận . Đây là một đa thức biến có bậc bằng

với , , … Ký hiệu đã được chọn một cách gọn nhẹ, nhưng cũng có thể gây hiểu lầm. Ở đây, là một đa thức có biến với hệ số phụ thuộc vào  .

Với định nghĩa như trên, ta có với là ma trận có được khi ta thế vào biến .

Thực ra, khẳng định trên đủ phổ dụng để ta không cần phải qui định trước xem là ma trận có hệ số như thế nào. Tuy nhiên để dễ hình dung bạn sẽ gỉả sử rằng là ma trận với hệ số trong một trường , chẳng hạn như trường các số phức, mặc dù định lý đúng nếu là một ma trận với hệ số trong một vành giao hoán bất kỳ.

Chứng minh thứ nhất : Cho là một không gian vec tơ chiều trên trường với là cơ sở. Cho là mo đun tự do hạng trên vành đa thức cũng với cơ sở là .  Bạn có như không gian vec tơ con trên chứ không phải như -mo đun vì bản thân chưa được trang bị cấu trúc -mo đun.

Advertisement