Tuyến tính | Thích Học Toán

Posts Tagged ‘Tuyến tính’

Tăng xờ toàn tập

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho $V,V'$ là hai không gian vec-tơ trên một trường $k$ . Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian $V\otimes_k V'$ các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một $k$ -không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp $V\times V'=\{(v,v')|v\in V,v'\in V'\}$ . Ta ký hiệu nó là $k^{V\times V'}$ . Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng $\alpha_1 (v_1,v'_1)+\cdots+\alpha_n (v_n,v'_n)$ với các vô hướng $\alpha_i\in k$ . Sau đó, ta xét không gian con $W$ của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng $(v,v'_1+v'_2)-(v,v'_1)-(v,v'_2)$ , $(v,\alpha v')-\alpha (v,v')$ và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí $v$ và $v'$ . Ta đặt $V\otimes_k V'$ là không gian vec-tơ thương của $k^{V\times V'}$ chia cho không gian con $W$ .

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ $(v,v')$ trong $V\otimes V'$ là $v\otimes v'$ . Các vec-tơ $v\otimes v'$ lập thành một hệ sinh của $V\otimes V'$ nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của $W$ trong $V\otimes V'$ bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính $v\otimes(v'_1+v'_2)-v\otimes v'_1-v \otimes v'_2=0$ và $v\otimes (\alpha v') -\alpha (v\otimes v')=0$ và các quan hệ tương tự khi $v$ và $v'$ trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng $V\otimes V'$ với các vec-tơ $v\otimes v'$ làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).

Đọc tiếp »

Written by Ngo Bao Chau

15/11/2011 at 02:35

Posted in Toán

Tagged with Tuyến tính, Vết, Định thức

Vị trí tương đối

with 4 comments

Đọc lại bài Quay quanh mặt trời viết từ một năm trước, so với mấy truyện buồn buồn sến sến viết gần đây, phát hiện ra rằng các nơ ron trào lộng trong sọ mình có vẻ bị tắt hết từ lúc nào. Khi ta không còn thấy thích đùa, là lúc ta bắt đầu già. Nghĩ mà thấy ghen tị với bạn Cụ Hinh và bạn 5xu. Hai bạn này trông bên ngoài thì nhăn nheo hơn mình, nhưng trong lòng vẫn là cả một khối thanh xuân phơi phới. Không biết các bạn ấy ăn gì mà tốt cây thế, hehe.

Nói nhảm chỉ để thông báo rằng những bài sắp xuất hiện trong mục Toán sẽ khô như ngói, và chỉ phục vụ các bạn đang làm toán hoặc đang học toán. Các bạn không thuộc hai phạm trù này thì dừng đọc ở đây nhé.

****

Nếu $H,K$ là hai nhóm con của một nhóm $G$ , thì có một tương ứng 1-1 giữa tập các lớp kề đúp $H\backslash G/K$ và tập các quĩ đạo của nhóm $G$ tác động đồng thời lên $G/H \times G/K$ . Đây là một mệnh đề tổng quát và khá tầm thường mà bạn có thể tìm thấy trong bất kỳ quyển sách nào về lý thuyết nhóm đại cương. Theo một nghĩa nào đó, vế trái có ưu điểm tiết kiệm ngôn ngữ vì nhóm $G$ chỉ dùng một lần ; tuy thế nó hơi thiếu tính trực quan vì thật ra rất khó hình dung cụ thể một lớp kề đúp là cái gì. Vế phải thì ngược lại. Phần tử của các không gian thuần nhất $G/H$ và $G/K$ thường tương ứng với những đối tượng mang ý nghĩa hình học. Quĩ đạo theo tác động đồng thời của $G$ lên $G/H\times G/K$ tương ứng với vị trí tương đối giữa hai đối tượng đó. Đọc tiếp »