Tăng xờ toàn tập

Chép lại từ blog cũ một loạt ba bài về đại số đa tuyến tính. Điểm yếu chung tôi nhận thấy ở sinh viên toán ở VN chính là kỹ năng tăng xờ chưa thật thành thạo.

Tăng xờ (1)

Cho là hai không gian vec-tơ trên một trường . Phương pháp trừu tượng để xây dựng không gian các tăng xờ là thế này. Trước hết ta xây dựng một -không gian vec-tơ khổng lồ với cơ sở là tích trực tiếp . Ta ký hiệu nó là . Mỗi phần tử của nó là một tổ hợp tuyến tính hữu hạn ở dạng  với các vô hướng . Sau đó, ta xét không gian con của cái không gian khổng lồ này sinh bởi các vec-tơ có dạng , và các biểu thức nhận được nếu ta đảo vị trí và . Ta đặt là không gian vec-tơ thương của chia cho không gian con .

Ta ký hiệu ảnh của vec-tơ trong là . Các vec-tơ lập thành một hệ sinh của nhưng chúng không độc lập tuyến tính nữa. Vì ảnh của trong bằng không, ta có các quan hệ song tuyến tính   và và các quan hệ tương tự khi và trao đổi vai trò. Thực ra ta đã xây dựng với các vec-tơ làm hệ sinh, thỏa mãn đúng các quan hệ như ở trên, không hơn, không kém. Xây dựng theo kiểu này hay được gọi là phổ dụng (universal).